Реши задание на изображении
Краткий ответ
1.
a) Нет:
\[
\left(\frac13\right)^2+\left(\frac13\right)^2=\frac29\ne1.
\]
b) Нет:
\[
0{,}2^2+0{,}8^2=0{,}04+0{,}64=0{,}68\ne1.
\]
c) Да:
\[
\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha
=\frac35\cdot\frac53=1.
\]
Например, подходит угол, для которого
\[
\sin\alpha=\frac3{\sqrt{34}},\qquad \cos\alpha=\frac5{\sqrt{34}}.
\]
(Можно взять оба значения со знаком минус — это будет угол III четверти.)
2.
a) \(\sin\alpha=0{,}8=\frac45,\quad 0<\alpha<\frac{\pi}{2}\).
\[
\boxed{\cos\alpha=\frac35,\quad \operatorname{tg}\alpha=\frac43,\quad \operatorname{ctg}\alpha=\frac34}
\]
b) \(\cos\alpha=-\frac25,\quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}\).
\[
\boxed{\sin\alpha=-\frac{\sqrt{21}}5,\quad
\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt{21}}2,\quad
\operatorname{ctg}\alpha=\frac2{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}}
\]
c) \(\operatorname{tg}\alpha=\frac32,\quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}\).
\[
\boxed{\sin\alpha=-\frac3{\sqrt{13}},\quad
\cos\alpha=-\frac2{\sqrt{13}},\quad
\operatorname{ctg}\alpha=\frac23}
\]
Как это получать
Основные формулы:
\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1, \] \[ \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}, \] \[ \operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1. \]
Ещё удобна формула:
\[ 1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}. \]
Задание 1
В пунктах a и b проверяем главное тригонометрическое тождество. Оно не выполняется, значит, такого угла нет.
В пункте c:
\[ \operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1 \]
и действительно
\[ \frac35\cdot\frac53=1. \]
Значит, угол существует.
Задание 2
Сначала смотрим, в какой четверти находится угол — от этого зависят знаки.
- \(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\) — I четверть: \(\sin\alpha>0,\ \cos\alpha>0\).
- \(\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}\) — III четверть: \(\sin\alpha<0,\ \cos\alpha<0\), а \(\operatorname{tg}\alpha>0,\ \operatorname{ctg}\alpha>0\).
a)
\[
\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha
=1-\frac{16}{25}=\frac9{25}.
\]
В I четверти косинус положительный:
\[
\cos\alpha=\frac35.
\]
Дальше:
\[
\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
=\frac{4/5}{3/5}=\frac43,
\qquad
\operatorname{ctg}\alpha=\frac34.
\]
b)
\[
\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha
=1-\frac4{25}=\frac{21}{25}.
\]
В III четверти синус отрицательный:
\[
\sin\alpha=-\frac{\sqrt{21}}5.
\]
Тогда
\[
\operatorname{tg}\alpha
=\frac{-\sqrt{21}/5}{-2/5}
=\frac{\sqrt{21}}2,
\]
\[
\operatorname{ctg}\alpha=\frac{2}{\sqrt{21}}.
\]
c)
\[
1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}.
\]
\[
1+\frac94=\frac{13}{4}
\quad\Rightarrow\quad
\cos^2\alpha=\frac4{13}.
\]
В III четверти косинус отрицательный:
\[
\cos\alpha=-\frac2{\sqrt{13}}.
\]
Тогда
\[
\sin\alpha=\operatorname{tg}\alpha\cdot\cos\alpha
=\frac32\cdot\left(-\frac2{\sqrt{13}}\right)
=-\frac3{\sqrt{13}},
\]
\[
\operatorname{ctg}\alpha=\frac1{\operatorname{tg}\alpha}=\frac23.
\]
Проверка
a)
\[
\left(\frac45\right)^2+\left(\frac35\right)^2
=\frac{16}{25}+\frac9{25}=1.
\]
b)
\[
\left(-\frac{\sqrt{21}}5\right)^2+\left(-\frac25\right)^2
=\frac{21}{25}+\frac4{25}=1.
\]
c)
\[
\left(-\frac3{\sqrt{13}}\right)^2+\left(-\frac2{\sqrt{13}}\right)^2
=\frac9{13}+\frac4{13}=1.
\]
Всё сходится.
