реши все задания
Краткие ответы
- \(F(x)=2x^3+5x+\dfrac{1}{x^2}+C\)
- \(F(x)=\dfrac{1}{2}e^{2x}+\dfrac{1}{2}\)
- а) \(\ln 3+4\approx 5{,}10\); б) \(\dfrac{3}{2}=1{,}5\)
- \(S=\dfrac{16}{3}=5\dfrac{1}{3}\)
- \(-\dfrac{1}{3}\cos(3x+\pi)+C=\dfrac{1}{3}\cos 3x+C\)
№1. Все первообразные \(f(x)=6x^2+5-\dfrac{2}{x^3}\)
Идея: первообразная суммы — сумма первообразных, а \(\int x^n dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) при \(n\ne -1\).
Перепишем степень: \(-\dfrac{2}{x^3}=-2x^{-3}\). Тогда \(n=-3\), значит
\[\int -2x^{-3}dx=-2\cdot\frac{x^{-2}}{-2}=x^{-2}=\frac{1}{x^2}.\] \[\boxed{F(x)=\frac{6x^3}{3}+5x+\frac{1}{x^2}+C=2x^3+5x+\frac{1}{x^2}+C}\]Проверка (дифференцированием): \(6x^2+5-2x^{-3}\) — совпало с \(f(x)\). ✔
№2. Первообразная \(f(x)=e^{2x}\) с условием \(F(0)=1\)
Общий вид: \(\int e^{2x}dx=\dfrac{1}{2}e^{2x}+C\) (множитель \(\tfrac12\) появляется из-за коэффициента 2: \(\left(e^{2x}\right)'=2e^{2x}\)).
Подставляем условие:
\[\frac{1}{2}e^{0}+C=1 \Rightarrow \frac{1}{2}+C=1 \Rightarrow C=\frac{1}{2}.\] \[\boxed{F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+\frac{1}{2}}\]Проверка: \(F(0)=\frac12+\frac12=1\) ✔; \(F'(x)=\frac12\cdot 2e^{2x}=e^{2x}\) ✔
№3. Определённый интеграл (формула Ньютона–Лейбница)
а) \(\displaystyle\int_1^3\left(\frac{1}{x}+x\right)dx\)
Первообразная: \(\ln x+\dfrac{x^2}{2}\) (здесь как раз случай \(n=-1\): \(\int\frac{dx}{x}=\ln x\)).
\[\left(\ln 3+\frac{9}{2}\right)-\left(\ln 1+\frac{1}{2}\right)=\ln 3+4{,}5-0-0{,}5=\boxed{\ln 3+4}\]б) \(\displaystyle\int_{-1}^{2}(x^2-x)\,dx\)
Первообразная: \(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}\).
- при \(x=2\): \(\dfrac{8}{3}-2=\dfrac{2}{3}\);
- при \(x=-1\): \(-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{5}{6}\).
Проверка (б): функция \(x^2-x\) на \([-1;2]\) меняет знак в нулях \(0\) и \(1\), но формула Ньютона–Лейбница учитывает это автоматически — ответ \(\tfrac32\) верен.
№4. Площадь фигуры: \(y=\sqrt{x}\), \(x=4\), ось \(Ox\)
Кривая \(y=\sqrt x\) выходит из начала координат и при \(x=0\) касается оси \(Ox\), поэтому фигура — под графиком от \(0\) до \(4\):
\[S=\int_0^4\sqrt{x}\,dx=\int_0^4 x^{1/2}dx=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_0^4=\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2}=\frac{2}{3}\cdot 8=\boxed{\frac{16}{3}}\]Проверка-прикидка: фигура лежит внутри прямоугольника \(4\times 2=8\), но выше треугольника под прямой \(y=\frac{x}{2}\) (его площадь \(4\)). Значит \(4<S<8\) — значение \(5{,}33\) правдоподобно ✔
№5. Замена переменной: \(\displaystyle\int \sin(3x+\pi)\,dx\)
Пусть \(t=3x+\pi\), тогда \(dt=3\,dx\), откуда \(dx=\dfrac{dt}{3}\):
\[\int\sin(3x+\pi)dx=\frac{1}{3}\int\sin t\,dt=-\frac{1}{3}\cos t+C=-\frac{1}{3}\cos(3x+\pi)+C.\]Так как \(\cos(3x+\pi)=-\cos 3x\), ответ можно записать короче:
\[\boxed{\frac{1}{3}\cos 3x+C}\]Проверка: \(\left(\frac13\cos 3x\right)'=\frac13\cdot(-3\sin 3x)=-\sin 3x\), а \(\sin(3x+\pi)=-\sin 3x\) ✔
Главный принцип всей работы: интегрирование — обратная операция к дифференцированию. Поэтому любое найденное \(F\) можно проверить, взяв \(F'\): должно получиться подынтегральное выражение. А в определённом интеграле главное — аккуратно подставить верхний и нижний пределы и вычесть.
