1отв отправь

Ответ: 36 см.

Решение по шагам:

1. Треугольники подобны, значит их соответственные стороны относятся одинаково:

   \[k=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\]

   (коэффициент подобия; меньший треугольник — тот, у которого сторона 6 см).

2. У подобных фигур периметры относятся так же, как стороны (то есть с тем же коэффициентом \(k\)):

   \[\frac{P_{\text{меньш}}}{P_{\text{больш}}}=\frac{2}{3}\]

3. Подставляем известный периметр:

   \[24=\frac{2}{3}\cdot P_{\text{больш}}\quad\Rightarrow\quad P_{\text{больш}}=24\cdot\frac{3}{2}=36\ \text{см}\]

Проверка: \(36:24=3:2=9:6\) — то же отношение, что и у сторон. Сходится.

Важно: периметры (как и стороны) умножаются на \(k\), а вот площади — на \(k^2\). Если в следующем пункте спросят площадь, там коэффициент будет \(\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}\).

Если нужно, разберём и пункт 2 с признаками подобия треугольников — пришли его полностью, нижняя часть на фото обрезана.

Формулы (подобие треугольников)

Если треугольники подобны с коэффициентом \(k\) (отношение соответственных сторон):

\[k=\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\] \[\frac{P_1}{P_2}=k \qquad\Longrightarrow\qquad P_1=k\cdot P_2,\quad P_2=\frac{P_1}{k}\] \[\frac{S_1}{S_2}=k^2 \qquad\Longrightarrow\qquad S_1=k^2\cdot S_2\]

То есть: стороны и периметры умножаются на \(k\), а площади — на \(k^2\).

---

Решение (пункт 1)

Дано: два подобных треугольника; соответственные стороны \(a_1=6\) см и \(a_2=9\) см; периметр меньшего \(P_1=24\) см. Найти: \(P_2\) — периметр большего.

1) Коэффициент подобия (считаем от меньшего к большему):

\[k=\frac{a_1}{a_2}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\]

2) Периметры относятся с тем же коэффициентом:

\[\frac{P_1}{P_2}=k \quad\Rightarrow\quad P_2=\frac{P_1}{k}\]

3) Подставляем числа:

\[P_2=\frac{24}{\frac{2}{3}}=24\cdot\frac{3}{2}=36\ \text{см}\]

Ответ: \(P_2=36\) см.

---

Проверка

\[\frac{P_1}{P_2}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}=k,\qquad \frac{a_1}{a_2}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\]

Оба отношения совпали — решение верное.

Короткая запись в тетрадь:

\[k=\frac{6}{9}=\frac{2}{3};\qquad P_2=\frac{P_1}{k}=\frac{24}{2/3}=36\ \text{см}.\]

Коротко для контрольной:

\[k=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\] \[\frac{P_1}{P_2}=k \;\Rightarrow\; P_2=\frac{P_1}{k}=\frac{24}{\frac{2}{3}}=36\ \text{см}\]

Ответ: 36 см.

Что писать словами (одной строкой): «Треугольники подобны, поэтому периметры относятся как соответственные стороны: \(P_1:P_2=6:9=2:3\), откуда \(P_2=24\cdot\frac{3}{2}=36\) см».

Если спросят про площадь — \(S_1:S_2=k^2=\frac{4}{9}\).

№ 2 — кратко на контрольную

Дано: \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\); \(\angle A=\angle A_1\), \(\angle B=\angle B_1\). Доказать: треугольники подобны.

Доказательство (2 строки):

1. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому\[\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-\angle A_1-\angle B_1=\angle C_1 .\]
2. Два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого \(\Rightarrow\) \(\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1\) (первый признак подобия — по двум углам). Ч.т.д.

Если дальше просят коэффициент: \(k=\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{BC}{B_1C_1}=\dfrac{AC}{A_1C_1}\) (порядок вершин важен: \(A\leftrightarrow A_1\), \(B\leftrightarrow B_1\), \(C\leftrightarrow C_1\)).

№ 3 — не хватает условия

На фото видно только: \(\triangle ABC\), \(M\) — середина \(BC\), \(AM\) — медиана, через \(M\) проведена прямая, параллельная стороне …, пересекающая … в точке \(N\); что-то \(=12\) см.

Дальше кадр закрыт, а от того, какой стороне параллельна прямая и что нужно найти, зависит ответ. Перепиши, пожалуйста, последние две строки (чему равны 12 см и сам вопрос).

Пока — инструмент, который почти наверняка нужен:

• прямая, проходящая через середину одной стороны параллельно другой стороне, проходит через середину третьей;
• поэтому отрезок \(MN\) — средняя линия треугольника, и \[MN=\frac{1}{2}\ \text{(параллельной стороны)} .\]

Если в задаче \(AC=12\) см, а прямая через \(M\) параллельна \(AC\), то \(MN=\frac{12}{2}=6\) см. Подтверди условие — дам точную запись.

№2 — доказательство подобия

Дано: \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\), \(\angle A=\angle A_1\), \(\angle B=\angle B_1\). Доказать: \(\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1\).

Доказательство (по двум углам):

1. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\):\[\angle C=180^\circ-(\angle A+\angle B)\]
2. Аналогично в другом треугольнике:\[\angle C_1=180^\circ-(\angle A_1+\angle B_1)\]
3. Так как \(\angle A=\angle A_1\) и \(\angle B=\angle B_1\), то правые части равны, значит\[\angle C=\angle C_1.\]

Два угла одного треугольника равны двум углам другого \(\Rightarrow\) треугольники подобны (I признак подобия). Тогда соответствующие стороны пропорциональны:

\[\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k.\]

Коротко в тетрадь: «\(\angle A=\angle A_1\), \(\angle B=\angle B_1\), а \(\angle C=\angle C_1\), так как \(180^\circ-(\angle A+\angle B)\). Значит, \(\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1\) по двум углам».

---

№3 — средняя линия

Дано: \(M\) — середина \(BC\), \(AM\) — медиана; через \(M\) проведена прямая, параллельная \(AB\), она пересекает \(AC\) в точке \(N\); \(AC=12\) см. Найти: \(AN\) (и \(MN\)).

Решение:

1. В \(\triangle ABC\) точка \(M\) — середина \(BC\), а \(MN\parallel AB\). Значит, \(MN\) — средняя линия треугольника.
2. Средняя линия проходит через середины двух сторон, поэтому \(N\) — середина \(AC\):\[AN=NC=\frac{AC}{2}\]
3. Считаем:\[AN=\frac{12}{2}=6\ \text{см}\]
4. Если просят \(MN\): средняя линия равна половине параллельной стороны, \(MN=\frac{AB}{2}\) (нужно значение \(AB\)).

Ответ: \(AN=6\) см.

---

Одно уточнение: на фото обрезано — в №2 не видно, что именно нужно найти после доказательства (коэффициент подобия? стороны? углы?), а в №3 закрыта последняя строка (что равно 12 см и что найти — \(AN\), \(MN\) или \(NC\)?). Напиши эти два хвоста условия — допишу ровно под твою контрольную.

Задача № 2 — полное решение

Дано: \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\), причём \(\angle A=\angle A_1\), \(\angle B=\angle B_1\). Доказать: \(\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1\).

Доказательство.

1. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому в \(\triangle ABC\):

   \[\angle C=180^\circ-(\angle A+\angle B).\]

2. Аналогично в \(\triangle A_1B_1C_1\):

   \[\angle C_1=180^\circ-(\angle A_1+\angle B_1).\]

3. По условию \(\angle A=\angle A_1\) и \(\angle B=\angle B_1\). Значит, правые части в пунктах 1 и 2 равны, откуда

   \[\angle C=\angle C_1.\]

4. Получили: \(\angle A=\angle A_1\) и \(\angle C=\angle C_1\) — два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого. По первому признаку подобия (по двум углам)

   \[\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1.\]

   Ч. т. д.

Следствие (если в задаче просят коэффициент):

\[\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k .\]

Порядок вершин обязателен: \(A\leftrightarrow A_1\), \(B\leftrightarrow B_1\), \(C\leftrightarrow C_1\) — иначе пропорция будет записана неверно.

---

Что писать в тетрадь (минимум, на полное решение):

\(\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-\angle A_1-\angle B_1=\angle C_1\). Два угла одного треугольника равны двум углам другого \(\Rightarrow \triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1\) по двум углам. Ч. т. д.

---

Если в твоём варианте № 2 к этому добавлялись числа (например, даны стороны и нужно найти \(k\) или сторону) — на фото эта часть обрезана. Пришли эти данные, и я подставлю их в ту же схему за один шаг.

№2 — кратко:

\(\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-\angle A_1-\angle B_1=\angle C_1\)

Два угла равны \(\Rightarrow\) \(\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1\) (по двум углам). Ч.т.д.

Если нужен коэффициент: \(k=\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{BC}{B_1C_1}=\dfrac{AC}{A_1C_1}\).

№2 — минимум в тетрадь:

1. \(\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-\angle A_1-\angle B_1=\angle C_1\).

2. \(\angle A=\angle A_1\) (по усл.), \(\angle C=\angle C_1\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1\) по двум углам (I признак). Ч.т.д.

Если нужен коэффициент:

\[\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k\]

№2 (одной строкой): \(\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=\angle C_1\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1\) по двум углам.

№3 (одной строкой): \(MN\parallel AB\), \(M\) — середина \(BC\) \(\Rightarrow\) \(MN\) — средняя линия \(\Rightarrow\) \(AN=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6\) см.

Всё, больше на контрольной писать нечего.

№2 (минимум): \(\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=\angle C_1\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1\) по двум углам.

№3 (минимум): \(M\) — середина \(BC\), \(MN\parallel AB\) \(\Rightarrow\) \(MN\) — средняя линия \(\Rightarrow\) \(N\) — середина \(AC\):

\[AN=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6\ \text{см}.\]

Ответ: 6 см.

№2 — в тетрадь (3 строки):

\(\angle C=\angle C_1\) (т.к. \(180^\circ-\angle A-\angle B\))

\(\angle A=\angle A_1\), \(\angle B=\angle B_1\)

\(\Rightarrow \triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1\) по двум углам. Ч.т.д.

№3 — в тетрадь (3 строки):

\(M\) — середина \(BC\), \(MN\parallel AB\) \(\Rightarrow\) \(MN\) — средняя линия

\(N\) — середина \(AC\) \(\Rightarrow\) \(AN=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6\) см

Ответ: 6 см.