Реши задание на изображении
Краткий ответ
| № | а) | б) | в) | г) |
|---|---|---|---|---|
| 121 | \(0\) | \(-\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(-\dfrac{\pi}{4}\) |
| 122 | \(\dfrac{2\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{5\pi}{6}\) | \(0\) |
| 123 | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(-\dfrac{\pi}{4}\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) |
124–125. Имеет ли выражение смысл?
| № | а) | б) | в) | г) |
|---|---|---|---|---|
| 124 | да | нет | нет | да |
| 125 | нет | нет | нет | да |
126–127. Значения выражений
| № | а) | б) | в) | г) |
|---|---|---|---|---|
| 126 | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\dfrac{\pi}{12}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(-\dfrac{\pi}{3}\) |
| 127 | \(\dfrac{\pi}{2}\) | — | — | — |
В кадре не видно условие 127 б), поэтому его решить нельзя.
Как это получается
- \(\arcsin x\) — это угол из промежутка
\[ \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right], \] синус которого равен \(x\).
Например: \[ \arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3}, \] потому что \[ \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}. \] Берём именно \(-\frac{\pi}{3}\), а не \(4\pi/3\): \(4\pi/3\) не входит в промежуток арксинуса.
- \(\arccos x\) — угол из промежутка
\[ [0;\pi], \] косинус которого равен \(x\).
Например: \[ \arccos\left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3}, \] так как \[ \cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12. \]
Полезно помнить: \[ \arcsin(-x)=-\arcsin x, \] \[ \arccos(-x)=\pi-\arccos x, \] \[ \operatorname{arctg}(-x)=-\operatorname{arctg}x. \]
- \(\operatorname{arctg} x\) — угол из промежутка
\[ \left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right), \] тангенс которого равен \(x\).
Например: \[ \operatorname{arctg}\frac1{\sqrt3}=\frac{\pi}{6}, \] потому что \[ \operatorname{tg}\frac{\pi}{6}=\frac1{\sqrt3}. \]
- В заданиях 124–125 надо проверить только аргумент: у \(\arcsin\) и \(\arccos\) он должен лежать в отрезке \([-1;1]\).
Например:
- \(\arccos\sqrt5\) не имеет смысла, потому что \(\sqrt5>1\);
- \(\arcsin 1{,}5\) не имеет смысла, потому что \(1{,}5>1\);
- \(\arcsin(3-\sqrt{20})\) не имеет смысла, так как \(\sqrt{20}>4\), значит \(3-\sqrt{20}<-1\);
- \(\arcsin\frac27\) имеет смысл, потому что \(\frac27\in[-1;1]\).
- В заданиях 126–127 сначала находим каждое слагаемое, потом складываем. Например: \[ \arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)+\arccos\frac12 = -\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{12}. \]
Проверка: подстановкой убеждаемся, что
\[
\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2},
\qquad
\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12,
\]
а для 127 а):
\[
\arccos(-0{,}5)+\arcsin(-0{,}5)
=
\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}
=
\frac{\pi}{2}.
\]
Если нужны также 127 б) и 128, пришлите нижнюю часть фотографии — там условие обрезано.
