Решите уравнение, используя введение новой переменной
Ответ (в действительных числах):
в) \(x=-3;\ 2\)
г) \(x=-\dfrac32;\ 1;\ \dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{4}\)
Общий принцип: замечаем одинаковое выражение в обеих скобках, обозначаем его новой буквой и сводим уравнение к квадратному.
в) \((x^2+x-1)(x^2+x+2)=40\)
Пусть
\[
t=x^2+x.
\]
Тогда
\[
(t-1)(t+2)=40.
\]
Раскрываем скобки:
\[
t^2+t-2=40,
\]
\[
t^2+t-42=0.
\]
Корни:
\[
t=6 \quad \text{или} \quad t=-7.
\]
Возвращаемся к \(x\).
\(x^2+x=6\): \[ x^2+x-6=0, \] \[ x=2 \quad \text{или} \quad x=-3. \]
\(x^2+x=-7\): \[ x^2+x+7=0. \] Дискриминант: \[ D=1-28=-27<0, \] поэтому действительных корней нет.
Итог: \(x=-3;\ 2\).
г) \((2x^2+x-1)(2x^2+x-4)+2=0\)
Пусть
\[
t=2x^2+x.
\]
Получаем:
\[
(t-1)(t-4)+2=0.
\]
Раскрываем скобки:
\[
t^2-5t+4+2=0,
\]
\[
t^2-5t+6=0,
\]
\[
(t-2)(t-3)=0.
\]
Значит,
\[
t=2 \quad \text{или} \quad t=3.
\]
\(2x^2+x=2\): \[ 2x^2+x-2=0. \] \[ D=1+16=17, \] \[ x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{4}. \]
\(2x^2+x=3\): \[ 2x^2+x-3=0. \] \[ D=1+24=25, \] \[ x=\frac{-1\pm5}{4}. \] Отсюда: \[ x=1 \quad \text{или} \quad x=-\frac32. \]
Итог:
\[
x=-\frac32;\quad x=1;\quad x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{4}.
\]
Проверка законна: все преобразования обратимы, деления на выражение с \(x\) не было, поэтому лишних корней не появилось.
