154 баштап

Полное решение (тригонометрические неравенства)

Общий приём. Решаем уравнение \(\sin x = a\), отмечаем точки на единичной окружности и берём ту дугу, где ордината \(y=\sin x\) удовлетворяет нужному условию. Ответ всегда «сдвигается» на период \(2\pi k\).

а) \(\sin x \ge \frac{\sqrt2}{2}\)

1. \(\sin x = \frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}\) и \(x = \frac{3\pi}{4}\).
2. На окружности это точки с \(y = \frac{\sqrt2}{2}\); условие \(\sin x \ge \frac{\sqrt2}{2}\) выполняется на верхней дуге между ними.
3. Дуга идёт от \(\frac{\pi}{4}\) к \(\frac{3\pi}{4}\) против часовой стрелки, точки входят в ответ.

\[ x \in \left[\frac{\pi}{4}+2\pi k;\ \frac{3\pi}{4}+2\pi k\right],\ k\in\mathbb Z \]

б) \(\sin x < -\frac{\sqrt3}{2}\)

1. \(\sin x = -\frac{\sqrt3}{2} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3}\) и \(x = -\frac{2\pi}{3}\).
2. Нужны точки с ординатой меньше \(-\frac{\sqrt3}{2}\) — это нижняя дуга между \(-\frac{2\pi}{3}\) и \(-\frac{\pi}{3}\).
3. Неравенство строгое, концы не входят.

\[ x \in \left(-\frac{2\pi}{3}+2\pi k;\ -\frac{\pi}{3}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z \]

в) \(\sin x \ge \frac12\)

1. \(\sin x = \frac12 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}\) и \(x = \frac{5\pi}{6}\).
2. Условие выполняется на верхней дуге между этими точками.
3. Неравенство нестрогое, концы входят.

\[ x \in \left[\frac{\pi}{6}+2\pi k;\ \frac{5\pi}{6}+2\pi k\right],\ k\in\mathbb Z \]

г) \(\sin x < -\frac{\sqrt2}{2}\)

1. \(\sin x = -\frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4}\) и \(x = -\frac{3\pi}{4}\).
2. Нужна нижняя дуга между \(-\frac{3\pi}{4}\) и \(-\frac{\pi}{4}\).
3. Неравенство строгое, концы не входят.

\[ x \in \left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi k;\ -\frac{\pi}{4}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z \]

Проверка логики на примере в): при \(x=\frac{\pi}{2}\) (середина дуги) \(\sin\frac{\pi}{2}=1\ge\frac12\) — верно; при \(x=0\) (вне дуги) \(\sin 0 = 0 < \frac12\) — не входит. ✔

Если в учебнике под № 154 другие пункты (например, с \(\cos x\) или \(\operatorname{tg} x\)) — пришли фото страницы, пересчитаю по вашим условиям.

№ 154 — коротко и по шагам

Как решаем: приравниваем \(\sin x\) к границе, находим две точки на окружности и берём дугу, где условие выполняется.

а) \(\sin x \ge \dfrac{\sqrt2}{2}\)

\(\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2} \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{3\pi}{4}\). Условие — верхняя дуга, концы входят (знак \(\ge\)).

\[ \boxed{x\in\left[\frac{\pi}{4}+2\pi k;\ \frac{3\pi}{4}+2\pi k\right],\ k\in\mathbb Z} \]

б) \(\sin x < -\dfrac{\sqrt3}{2}\)

\(\sin x=-\dfrac{\sqrt3}{2} \Rightarrow x=-\dfrac{2\pi}{3},\ -\dfrac{\pi}{3}\). Условие — нижняя дуга, концы не входят (знак \(<\)).

\[ \boxed{x\in\left(-\frac{2\pi}{3}+2\pi k;\ -\frac{\pi}{3}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z} \]

в) \(\sin x \ge \dfrac{1}{2}\)

\(\sin x=\dfrac{1}{2} \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6}\). Верхняя дуга, концы входят.

\[ \boxed{x\in\left[\frac{\pi}{6}+2\pi k;\ \frac{5\pi}{6}+2\pi k\right],\ k\in\mathbb Z} \]

г) \(\sin x < -\dfrac{\sqrt2}{2}\)

\(\sin x=-\dfrac{\sqrt2}{2} \Rightarrow x=-\dfrac{3\pi}{4},\ -\dfrac{\pi}{4}\). Нижняя дуга, концы не входят.

\[ \boxed{x\in\left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi k;\ -\frac{\pi}{4}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z} \]

Правило на будущее: для \(\sin x \ge a\) берётся верхняя дуга, для \(\sin x < a\) — нижняя; знак \(\ge\) или \(\le\) — скобки квадратные, строгий знак \(>\) или \(<\) — круглые.