Что такое? комплексные числа
Краткий ответ
Комплексное число — это число вида
\[z = a + bi,\]где \(a\) и \(b\) — обычные действительные числа, а \(i\) — «мнимая единица», для которой по определению
\[i^2 = -1.\]- \(a\) называют действительной частью (\(\operatorname{Re} z\)),
- \(b\) — мнимой частью (\(\operatorname{Im} z\)).
При \(b = 0\) получаем обычное действительное число, при \(a = 0\) — чисто мнимое (например, \(2i\)). То есть действительные числа — частный случай комплексных.
Зачем они понадобились
В действительных числах нельзя извлечь корень из отрицательного числа: уравнение \(x^2 = -1\) решений не имеет. Комплексные числа — это расширение, в котором такое уравнение уже решается: \(x = \pm i\).
Главный смысл: в \(\mathbb{C}\) любой многочлен степени \(n\) имеет ровно \(n\) корней (основная теорема алгебры). Например, \(x^2 + 4 = 0\) имеет корни \(x = \pm 2i\).
Как с ними работать — ключевые правила
1. Равенство. \(a + bi = c + di\) тогда и только тогда, когда \(a = c\) и \(b = d\). Приравниваем отдельно действительные и отдельно мнимые части.
2. Сложение. Складываем «по частям»:
\[(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.\]3. Умножение. Раскрываем скобки как обычно, только в конце заменяем \(i^2 = -1\):
\[(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i.\]4. Сопряжённое число. Для \(z = a+bi\) это \(\bar{z} = a - bi\). Важное свойство:
\[z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2 \text{ — всегда действительное число.}\]5. Деление. Домножаем числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю — тогда в знаменателе исчезнет \(i\):
\[\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}.\]6. Степени \(i\) идут по кругу с периодом 4:
\[i^1 = i,\quad i^2 = -1,\quad i^3 = -i,\quad i^4 = 1,\quad i^5 = i,\ \dots\]Поэтому \(i^{n}\) — это \(i\) в степени «остаток от деления \(n\) на 4».
7. Геометрический смысл. Числу \(a+bi\) соответствует точка \((a;\,b)\) на плоскости (или вектор из начала координат). Модуль \(|z| = \sqrt{a^2+b^2}\) — расстояние от нуля.
Проверка на примерах
Умножение: \((2+3i)(1-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i\). Проверка через \(i^2=-1\): слагаемое \(-3i^2 = -3\cdot(-1) = +3\) — сходится.
Деление: \(\dfrac{1+2i}{3-i} = \dfrac{(1+2i)(3+i)}{(3-i)(3+i)} = \dfrac{3 + i + 6i + 2i^2}{9+1} = \dfrac{3 + 7i - 2}{10} = \dfrac{1+7i}{10}\). Проверка знаменателя: \((3-i)(3+i) = 9 - i^2 = 9+1 = 10\) — действительное, как и должно быть.
Что важно не путать
- Комплексные числа не упорядочены: нельзя сказать, что \(2+i > 1+i\). Сравнивать по величине можно только действительные числа (и модули).
- \(i\) — не «переменная», а фиксированное число с \(i^2=-1\); из него нельзя «вынести» ничего лишнего.
- Если в ответе получилось \(i\) в знаменателе — ответ не доведён до конца, нужноdomножить на сопряжённое.
