Что такое? Архуметический корень натуральной степени
Краткий ответ
Арифметическим корнем натуральной степени \(n\) (\(n \ge 2\)) из числа \(a \ge 0\) называется такое неотрицательное число \(b\), для которого \(b^n = a\).
Обозначение: \(\sqrt[n]{a} = b\), где \(b \ge 0\) и \(b^n = a\).
Ключевые шаги: как это устроено
1. Два условия сразу — и оба обязательны.
\[ \sqrt[n]{a}=b \iff \begin{cases} b^n = a \\ b \ge 0 \end{cases} \]
Если выполнено только первое условие, число может оказаться «не тем».
2. Зачем слово «арифметический».
Уравнение \(x^2 = 9\) имеет два корня: \(3\) и \(-3\). Но запись \(\sqrt{9}\) означает только неотрицательное значение, то есть \(3\). Поэтому \(\sqrt{9} = 3\), а не \(\pm 3\).
3. Проверка всегда одна и та же — возвести в степень \(n\).
- \(\sqrt[3]{8} = 2\), потому что \(2^3 = 8\) и \(2 \ge 0\) ✔
- \(\sqrt[4]{81} = 3\), потому что \(3^4 = 81\) и \(3 \ge 0\) ✔
- \(\sqrt[3]{\tfrac{27}{8}} = \tfrac{3}{2}\), потому что \(\left(\tfrac{3}{2}\right)^3 = \tfrac{27}{8}\) ✔
4. Ограничение на подкоренное число.
Для арифметического корня требуется \(a \ge 0\). Поэтому \(\sqrt{-4}\) и \(\sqrt[4]{-16}\) в действительных числах не существуют — никакое действительное число в чётной степени не даст отрицательного результата.
Для нечётной степени \(n\) корень из отрицательного числа в математике определяют отдельно: \(\sqrt[3]{-8} = -2\). Но это не арифметический корень — он отрицательный, а арифметический по определению неотрицателен.
5. Полезное следствие.
\[ \left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a \quad (a \ge 0), \qquad \sqrt[n]{a^n} = |a| \]
Модуль появляется именно из-за требования неотрицательности: \(\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|\).
Проверь себя
Вычисли \(\sqrt[4]{0{,}0016}\).
Решение: \(0{,}0016 = 16 \cdot 10^{-4}\), значит \(\sqrt[4]{0{,}0016} = 2 \cdot 10^{-1} = 0{,}2\). Проверка: \(0{,}2^4 = 0{,}0016\) и \(0{,}2 \ge 0\) ✔
Обсуждение
2 сообщенияОпределить свойства
Свойства арифметического корня \(n\)-й степени
Далее везде \(n \in \mathbb{N},\ n \ge 2\), \(a \ge 0\), \(b > 0\).
Как доказываются все эти свойства
Один и тот же приём: чтобы доказать, что \(\sqrt[n]{A} = B\), достаточно показать два факта:
- \(B \ge 0\) (число неотрицательно);
- \(B^n = A\) (его \(n\)-я степень равна подкоренному числу).
По определению арифметического корня такое \(B\) единственно — значит, равенство верно.
I. Основные свойства
1. Неотрицательность и обратное действие
\[ \sqrt[n]{a} \ge 0, \qquad \left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a, \qquad \sqrt[n]{a^n} = a \ (a \ge 0) \]
2. Корень из произведения
\[ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b} \]
Доказательство: обе части неотрицательны; возведём правую в \(n\)-ю степень: \(\left(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\right)^n = ab\). ✔
3. Корень из частного
\[ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \]
4. Корень из корня
\[ \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a} \]
Проверка: \(\left(\sqrt[nk]{a}\right)^n = \sqrt[k]{a}\), а \(\left(\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}\right)^n = \sqrt[k]{a}\). ✔
5. Вынесение показателя: корень как степень
\[ \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = a^{\frac{m}{n}} \quad (m \in \mathbb{N}) \]
Это же свойство даёт неизменность при сокращении показателей:
\[ \sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m} \]
6. Сравнение (монотонность)
\[ 0 \le a < b \ \Rightarrow\ \sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b} \]
Значит, \(\sqrt[n]{a} > 1 \iff a > 1\), и \(\sqrt[n]{a} < 1 \iff a < 1\).
7. Крайние значения
\[ \sqrt[n]{0} = 0, \qquad \sqrt[n]{1} = 1 \]
II. Свойства функции \(y = \sqrt[n]{x}\)
| Свойство | Чётное \(n\) | Нечётное \(n\) |
|---|---|---|
| Область определения | \(x \ge 0\) | все \(x \in \mathbb{R}\) |
| Область значений | \(y \ge 0\) | все \(y \in \mathbb{R}\) |
| Монотонность | возрастает | возрастает |
| Нули | \(x = 0\) | \(x = 0\) |
| Чётность | ни чётная, ни нечётная | нечётная |
| График | ветвь параболы, лежащая «на боку» | симметричен относительно \(O\) |
Важно: при чётном \(n\) вся функция — это арифметический корень, он всегда \(y \ge 0\). При нечётном \(n\) запись \(\sqrt[n]{x}\) для \(x<0\) уже не арифметический корень: например, \(\sqrt[3]{-8} = -2 < 0\).
III. Где чаще всего ошибаются
- \(\sqrt{a^2} = |a|\), а не \(a\). Например, \(\sqrt{(-3)^2} = 3\), не \(-3\).
- Нельзя «разрывать» корень на сумму: \(\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}\). Проверка: \(\sqrt{9+16} = 5\), а \(\sqrt9+\sqrt{16} = 7\).
- Все свойства I работают только при \(a \ge 0\) (для чётного \(n\)). Иначе появляются мнимые числа.
IV. Проверка на примере
Упростить \(\sqrt[4]{16a^8b^{12}}\) при \(a \ge 0,\ b \ge 0\).
\[ \sqrt[4]{16a^8b^{12}} = \sqrt[4]{16}\cdot\sqrt[4]{a^8}\cdot\sqrt[4]{b^{12}} = 2\cdot a^{8/4}\cdot b^{12/4} = 2a^2b^3 \]
Проверка по определению: \(2a^2b^3 \ge 0\) ✔ и \((2a^2b^3)^4 = 16a^8b^{12}\) ✔
Если нужно — могу разобрать доказательства свойств подробнее или дать тренировочные задания на упрощение таких выражений.
