Реши задание на изображении
Краткий ответ
\[ f(x)=\frac{2}{x+1} \]
а) Область определения:
\[ D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty) \]
так как \(x+1\ne 0\), то есть \(x\ne -1\).
б) Первообразная:
\[ F(x)=2\ln|x+1|-3 \]
в) График \(f(x)=\dfrac{2}{x+1}\) — гипербола.
- вертикальная асимптота: \(x=-1\);
- горизонтальная асимптота: \(y=0\);
- точки для построения:
\[ (-3;-1),\quad (-2;-2),\quad \left(-\frac32;-4\right),\quad (0;2),\quad (1;1),\quad (3;0{,}5) \]
График получается из графика \(y=\dfrac{2}{x}\) сдвигом влево на \(1\).
Как это получается
- Область определения.
Знаменатель не может быть равен нулю:
\[ x+1\ne0 \Rightarrow x\ne-1 \]
- Первообразная.
Ищем интеграл:
\[ F(x)=\int \frac{2}{x+1}\,dx=2\ln|x+1|+C \]
Модуль нужен обязательно: точка \(A(-2;-3)\) имеет \(x=-2\), а тогда \(x+1=-1<0\), и запись \(\ln(x+1)\) была бы недопустима.
Подставляем координаты точки \(A(-2;-3)\):
\[ -3=2\ln|-2+1|+C \]
\[ -3=2\ln1+C \]
\[ -3=0+C \Rightarrow C=-3 \]
Значит,
\[ \boxed{F(x)=2\ln|x+1|-3} \]
Проверка:
\[ F'(x)=\frac{2}{x+1}=f(x) \]
\[ F(-2)=2\ln1-3=-3 \]
Всё верно.
График.
Для \(f(x)=\dfrac{2}{x+1}\):\[ x\to -1^+ \Rightarrow y\to+\infty,\qquad x\to -1^- \Rightarrow y\to-\infty \]
\[ x\to \pm\infty \Rightarrow y\to0 \]
Ветви расположены по разные стороны от вертикальной прямой \(x=-1\).
Если в пункте в) имелся в виду график найденной первообразной, то это уже не гипербола, а логарифмическая кривая:
\[ y=2\ln|x+1|-3 \]
У неё тоже вертикальная асимптота \(x=-1\), и она проходит через точку \(A(-2;-3)\).
Обсуждение
3 сообщенияВо втором не понятно
Б
Разберём пункт б) — как нашли первообразную.
1. Что такое первообразная
Первообразная \(F(x)\) для функции \(f(x)\) — это такая функция, производная которой равна \(f(x)\):
\[ F'(x)=f(x) \]
У нас:
\[ f(x)=\frac{2}{x+1} \]
Значит, нужна функция \(F(x)\), производная которой равна \(\dfrac{2}{x+1}\).
2. Вспоминаем производную логарифма
\[ (\ln|x+1|)'=\frac{1}{x+1} \]
Поэтому:
\[ (2\ln|x+1|)'=2\cdot\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x+1} \]
Значит, одна из первообразных:
\[ F(x)=2\ln|x+1| \]
Но первообразных бесконечно много, потому что производная любого числа равна нулю. Поэтому пишем:
\[ F(x)=2\ln|x+1|+C \]
3. Находим \(C\) по точке \(A(-2;-3)\)
Точка \(A(-2;-3)\) означает:
\[ x=-2,\qquad F(x)=-3 \]
Подставляем:
\[ -3=2\ln|-2+1|+C \]
Считаем:
\[ -2+1=-1 \]
\[ |-1|=1 \]
\[ \ln 1=0 \]
Тогда:
\[ -3=2\cdot0+C \]
\[ -3=C \]
Значит:
\[ \boxed{C=-3} \]
4. Ответ
\[ \boxed{F(x)=2\ln|x+1|-3} \]
5. Проверка
Находим производную:
\[ F'(x)=\left(2\ln|x+1|-3\right)'=\frac{2}{x+1} \]
Получили как раз \(f(x)\). И проверяем точку:
\[ F(-2)=2\ln|-1|-3=2\ln1-3=0-3=-3 \]
То есть график действительно проходит через \(A(-2;-3)\).
Почему нужен модуль?
При \(x=-2\) выражение \(x+1=-1\), а \(\ln(-1)\) не существует. Зато \(\ln|-1|=\ln1=0\) — всё определено. Поэтому пишем именно \(|x+1|\).
