103 реши
Краткий ответ
График функции \(y=2x^2+8x+2\) — парабола с вершиной
\[
(-2;-6),
\]
ветви направлены вверх, ось симметрии \(x=-2\).
- а) \(y(-2{,}3)=-5{,}82;\quad y(-0{,}5)=-1{,}5;\quad y(1{,}2)=14{,}48\).
По графику это примерно \(-5{,}8;\ -1{,}5;\ 14{,}5\). - б) при \(y=-4\): \(x=-3;-1\);
при \(y=-1\): \(x=\dfrac{-4\pm\sqrt{10}}2\approx -3{,}58;-0{,}42\);
при \(y=1{,}7\): \(x=\dfrac{-20\pm\sqrt{385}}{10}\approx -3{,}96;-0{,}04\). - в) нули функции:
\[ x=-2\pm\sqrt3\approx -3{,}73;\ -0{,}27. \] \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-2-\sqrt3)\cup(-2+\sqrt3;+\infty)\);
\(y<0\) при \(x\in(-2-\sqrt3;-2+\sqrt3)\). - г) функция убывает при \(x\le -2\), возрастает при \(x\ge -2\);
наименьшее значение \(y_{\min}=-6\) при \(x=-2\).
Как построить график
Действуем по образцу примера 3.
Находим вершину: \[ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot2}=-2, \] \[ y_0=2(-2)^2+8(-2)+2=8-16+2=-6. \]
Берём несколько точек:
| \(x\) | \(-5\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(12\) | \(2\) | \(-4\) | \(-6\) | \(-4\) | \(2\) | \(12\) |
Соединяем точки плавной линией — получаем параболу.
Почему получаются такие ответы
а) Если известен \(x\), подставляем его в формулу: \[ y(-2{,}3)=2(-2{,}3)^2+8(-2{,}3)+2=-5{,}82. \] Аналогично: \[ y(-0{,}5)=-1{,}5,\qquad y(1{,}2)=14{,}48. \] На графике это значит: проводим вертикальную прямую через данный \(x\) и смотрим, на какой высоте она пересекает параболу.
б) Если известен \(y\), решаем уравнение относительно \(x\). Например: \[ 2x^2+8x+2=-4 \] \[ 2x^2+8x+6=0 \] \[ x^2+4x+3=0 \] \[ (x+1)(x+3)=0, \] поэтому \(x=-1\) или \(x=-3\).
Для \(y=-1\): \[ 2x^2+8x+3=0, \] \[ x=\frac{-4\pm\sqrt{10}}2. \]
Для \(y=1{,}7\): \[ 2x^2+8x+0{,}3=0, \] \[ x=\frac{-20\pm\sqrt{385}}{10}. \]
в) Нули функции — это точки пересечения параболы с осью \(Ox\), то есть \(y=0\): \[ 2x^2+8x+2=0, \] \[ x^2+4x+1=0, \] \[ x=-2\pm\sqrt3. \] Так как ветви параболы направлены вверх, между корнями график ниже оси \(Ox\), а снаружи — выше.
г) Вершина является самой нижней точкой параболы, поэтому наименьшее значение функции равно \(-6\). Слева от вершины график идёт вниз — функция убывает, справа идёт вверх — возрастает.
Проверка
- \(y(-2)=2\cdot4-16+2=-6\) — вершина найдена верно.
- Подстановка \(x=-3\) и \(x=-1\) в \(y=2x^2+8x+2\) даёт \(y=-4\).
- Корни \(x=-2\pm\sqrt3\) обращают \(y\) в ноль.
- Все значения из таблицы симметричны относительно прямой \(x=-2\), как и должно быть у параболы.
Обсуждение
4 сообщенияНачерти
Изображение отправить не могу, поэтому ниже — схема графика и точные точки, по которым его легко начертить в тетради.
Схема
По горизонтали: 1 знак ≈ 0,5 единицы; по вертикали: 1 строка = 1 единица.
y
3 | * *
2 | * *
1 | * *
0 ----*-----*+--- x
-1 | * *|
-2 | * *|
-3 | * * |
-4 | * * |
-5 | * * |
-6 | *** |
-4 -2 0
Вершина — в точке \((-2;-6)\), ветви идут вверх симметрично относительно прямой \(x=-2\).
Точки для точного построения
| \(x\) | \(-5\) | \(-4{,}5\) | \(-4\) | \(-3{,}5\) | \(-3\) | \(-2{,}5\) | \(-2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(12\) | \(6{,}5\) | \(2\) | \(-1{,}5\) | \(-4\) | \(-5{,}5\) | \(-6\) |
| \(x\) | \(-1{,}5\) | \(-1\) | \(-0{,}5\) | \(0\) | \(0{,}5\) | \(1\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-5{,}5\) | \(-4\) | \(-1{,}5\) | \(2\) | \(6{,}5\) | \(12\) |
Как чертить в тетради
- Проведи оси: \(Ox\) — горизонтально, \(Oy\) — вертикально, отметь начало координат.
- Возьми масштаб: 1 клетка = 1 единица по \(x\), 1 клетка = 2 единицы по \(y\) (иначе парабола не поместится: она поднимается до \(y=12\)).
- Отметь вершину \((-2;-6)\) — это 2 клетки влево и 3 клетки вниз.
- Отметь симметричные точки: \((-4;2)\) и \((0;2)\); \((-3;-4)\) и \((-1;-4)\); \((-5;12)\) и \((1;12)\).
- Соедини точки плавной линией — получится парабола с ветвями вверх.
- Подпиши: ось симметрии \(x=-2\), нули функции \(x\approx-3{,}7\) и \(x\approx-0{,}3\) (там график пересекает ось \(Ox\)).
Проверка: все точки должны ложиться симметрично относительно вертикальной прямой \(x=-2\), а самая низкая точка — вершина \((-2;-6)\).
Начерти гоафик функции
График функции
\[
y=2x^2+8x+2
\]
— парабола, ветви вверх, вершина
\[
(-2;-6),
\]
ось симметрии \(x=-2\).
Схема:
y
12 ● ●
| \ /
10 | \ /
| \ /
8 | \ /
| \ /
6 | \ /
| \ /
4 | ●? нет, здесь проходит линия
2 | ● ●
0 |───×─────────×──→ x
-2 |
-4 | ● ●
-6 | ●
-5 -4 -3 -2 -1 0 1
Точнее, по точкам:
| \(x\) | \(-5\) | \(-4{,}5\) | \(-4\) | \(-3{,}5\) | \(-3\) | \(-2{,}5\) | \(-2\) | \(-1{,}5\) | \(-1\) | \(-0{,}5\) | \(0\) | \(0{,}5\) | \(1\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(12\) | \(6{,}5\) | \(2\) | \(-1{,}5\) | \(-4\) | \(-5{,}5\) | \(-6\) | \(-5{,}5\) | \(-4\) | \(-1{,}5\) | \(2\) | \(6{,}5\) | \(12\) |
Как чертить: отметь вершину \((-2;-6)\), затем симметричные точки \((-4;2)\) и \((0;2)\), \((-3;-4)\) и \((-1;-4)\), \((-5;12)\) и \((1;12)\). Соедини их плавной линией — получится парабола.
Нули функции:
\[
x\approx -3{,}73 \quad \text{и} \quad x\approx -0{,}27.
\]
