Реши букву б
Ответ: \(x=-\dfrac{13}{3}\).
Как решать:
Сначала находим ОДЗ. Разложим знаменатель: \[ x^2+3x-4=(x-1)(x+4). \] Поэтому \[ x\ne 1,\qquad x\ne -4. \]
Умножаем всё уравнение на общий знаменатель \((x-1)(x+4)\): \[ (x+1)^2(x+4)-20+(x+1)(x-1)=(x+1)(x-1)(x+4). \]
Раскрываем скобки: \[ x^3+7x^2+9x-17=x^3+4x^2-x-4. \]
Переносим всё влево: \[ 3x^2+10x-13=0. \] Разложим на множители: \[ 3x^2+10x-13=(x-1)(3x+13). \] Значит, \[ x=1 \quad \text{или} \quad x=-\frac{13}{3}. \]
Корень \(x=1\) не подходит, потому что при нём знаменатель \(x-1\) равен нулю. Остаётся: \[ x=-\frac{13}{3}. \]
Проверка: при \(x=-\frac{13}{3}\) левая часть равна \(-\frac{10}{3}\), и правая часть \(x+1\) тоже равна \(-\frac{10}{3}\).
Обсуждение
4 сообщенияРаспиши подробно
Распиши подробно
Решение пункта б подробно.
Исходное уравнение: \[ \frac{(x+1)^2}{x-1}-\frac{20}{x^2+3x-4}+\frac{x+1}{x+4}=x+1. \]
1. Найдём ОДЗ
Разложим знаменатель: \[ x^2+3x-4=(x-1)(x+4). \]
Знаменатели не должны обращаться в нуль: \[ x-1\ne0,\qquad x+4\ne0. \] Значит, \[ x\ne1,\qquad x\ne-4. \]
2. Приведём к общему знаменателю
Общий знаменатель: \[ (x-1)(x+4). \]
Умножим обе части уравнения на \((x-1)(x+4)\): \[ (x+1)^2(x+4)-20+(x+1)(x-1)=(x+1)(x-1)(x+4). \]
3. Раскроем скобки
Считаем отдельно левую часть: \[ (x+1)^2(x+4)=(x^2+2x+1)(x+4)=x^3+6x^2+9x+4. \] Тогда левая часть: \[ x^3+6x^2+9x+4-20+x^2-1 =x^3+7x^2+9x-17. \]
Правая часть: \[ (x+1)(x-1)(x+4)=(x^2-1)(x+4)=x^3+4x^2-x-4. \]
Получаем: \[ x^3+7x^2+9x-17=x^3+4x^2-x-4. \]
4. Перенесём всё в одну сторону
\[ x^3+7x^2+9x-17-x^3-4x^2+x+4=0. \] \[ 3x^2+10x-13=0. \]
Разложим квадратный трёхчлен на множители: \[ 3x^2+10x-13=(x-1)(3x+13). \]
Значит, \[ (x-1)(3x+13)=0. \] Отсюда: \[ x=1 \quad \text{или} \quad x=-\frac{13}{3}. \]
5. Учтём ОДЗ
Корень \(x=1\) не подходит, потому что \(x\ne1\) по ОДЗ.
Остаётся: \[ x=-\frac{13}{3}. \]
Проверка
При \(x=-\frac{13}{3}\): \[ x+1=-\frac{10}{3},\qquad x-1=-\frac{16}{3},\qquad x+4=-\frac13. \] Левая часть равна: \[ -\frac{25}{12}-\frac{45}{4}+10 =-\frac{25}{12}-\frac{135}{12}+\frac{120}{12} =-\frac{40}{12} =-\frac{10}{3}. \] Правая часть: \[ x+1=-\frac{10}{3}. \] Они равны, значит, корень верный.
\[ \boxed{x=-\frac{13}{3}} \]
Решим уравнение (буква б):
\[ \frac{(x+1)^2}{x-1}-\frac{20}{x^2+3x-4}+\frac{x+1}{x+4}=x+1. \]
1. ОДЗ
Разложим знаменатель:
\[ x^2+3x-4=(x-1)(x+4). \]
Знаменатели не могут быть равны нулю:
\[ x-1\ne0,\qquad x+4\ne0. \]
Значит,
\[ x\ne1,\qquad x\ne-4. \]
2. Приведём к общему знаменателю
Общий знаменатель:
\[ (x-1)(x+4). \]
Умножим обе части уравнения на этот знаменатель:
\[ (x+1)^2(x+4)-20+(x+1)(x-1)=(x+1)(x-1)(x+4). \]
3. Раскрываем скобки
Сначала:
\[ (x+1)^2(x+4)=(x^2+2x+1)(x+4)=x^3+6x^2+9x+4. \]
Также:
\[ (x+1)(x-1)=x^2-1. \]
Правая часть:
\[ (x+1)(x-1)(x+4)=(x^2-1)(x+4)=x^3+4x^2-x-4. \]
Подставляем:
\[ x^3+6x^2+9x+4-20+x^2-1=x^3+4x^2-x-4. \]
Упрощаем левую часть:
\[ x^3+7x^2+9x-17=x^3+4x^2-x-4. \]
4. Переносим всё в одну сторону
\[ x^3+7x^2+9x-17-x^3-4x^2+x+4=0. \]
\[ 3x^2+10x-13=0. \]
5. Решаем квадратное уравнение
\[ 3x^2+10x-13=0. \]
Найдём дискриминант:
\[ D=10^2-4\cdot3\cdot(-13)=100+156=256. \]
\[ \sqrt D=16. \]
Тогда:
\[ x_{1,2}=\frac{-10\pm16}{6}. \]
Получаем:
\[ x_1=\frac{6}{6}=1, \]
\[ x_2=\frac{-26}{6}=-\frac{13}{3}. \]
6. Проверяем ОДЗ
Корень \(x=1\) не подходит, так как \(x\ne1\).
Корень
\[ x=-\frac{13}{3} \]
не равен ни \(1\), ни \(-4\), поэтому подходит.
Ответ:
\[ \boxed{x=-\frac{13}{3}} \]
Проверка: при \(x=-\frac{13}{3}\) обе части исходного уравнения равны \(-\frac{10}{3}\), значит, корень найден верно.
