реши задачи и пошаговое объясни как
Кратко
При юзе автомобиль тормозит с ускорением
\[ a=\mu g\approx 7{,}8\ \text{м/с}^2 \] (при \(g=10\) — \(8\ \text{м/с}^2\)), направленным против скорости. Время до остановки
\[ t=\frac{v_0}{\mu g}\approx 2{,}6\ \text{с} \] (при \(g=10\) — \(2{,}5\ \text{с}\)).На повороте максимальная скорость без заноса
\[ v_{\max}=\sqrt{\mu gR}\approx 7{,}9\ \text{м/с} \] (при \(g=10\) — \(8\ \text{м/с}\)). Зимой коэффициент трения уменьшается в 4 раза, поэтому скорость уменьшится в \(\sqrt{4}=2\) раза, то есть примерно до \(4\ \text{м/с}\).
Задача 1
Дано:
\(v_0=20\ \text{м/с}\), \(\mu=0{,}8\), дорога горизонтальная.
1. Какие силы действуют
По вертикали автомобиль не движется, поэтому сила реакции дороги компенсирует силу тяжести:
\[ N=mg. \]
При юзе колёса скользят, значит, действует сила трения скольжения:
\[ F_{\text{тр}}=\mu N=\mu mg. \]
Она направлена против движения.
2. Второй закон Ньютона
В горизонтальном направлении других сил нет, поэтому:
\[ ma=F_{\text{тр}}, \]
но ускорение направлено против скорости, поэтому в проекции на направление движения:
\[ -ma=-\mu mg. \]
Сокращаем массу:
\[ a=\mu g. \]
Масса сократилась: более тяжёлый автомобиль сильнее прижимается к дороге, но и инертнее, поэтому ускорение от массы не зависит.
3. Число
\[ a=0{,}8\cdot 9{,}8=7{,}84\approx 7{,}8\ \text{м/с}^2. \]
Если в школе принимают \(g=10\ \text{м/с}^2\), то:
\[ a=0{,}8\cdot 10=8\ \text{м/с}^2. \]
Ускорение направлено против скорости.
4. Время торможения
Скорость при равнозамедленном движении:
\[ v=v_0-at. \]
В момент остановки \(v=0\), значит:
\[ t=\frac{v_0}{a}=\frac{v_0}{\mu g}. \]
Подставляем:
\[ t=\frac{20}{7{,}84}\approx 2{,}55\ \text{с}\approx 2{,}6\ \text{с}. \]
При \(g=10\):
\[ t=\frac{20}{8}=2{,}5\ \text{с}. \]
Ответ:
\[
a\approx 7{,}8\ \text{м/с}^2,\qquad t\approx 2{,}6\ \text{с}.
\]
При \(g=10\): \(a=8\ \text{м/с}^2\), \(t=2{,}5\ \text{с}\).
Проверка: тормозной путь
\[
s=\frac{v_0^2}{2a}=\frac{400}{2\cdot 7{,}84}\approx 25{,}5\ \text{м}
\]
— для скорости \(20\ \text{м/с}\) это правдоподобно.
Задача № 267
Дано:
\(R=16\ \text{м}\), \(\mu=0{,}4\).
1. Почему нужна сила трения
При повороте автомобиль движется по окружности. Даже если скорость по модулю не меняется, направление скорости меняется, поэтому есть центростремительное ускорение:
\[ a_{\text{ц}}=\frac{v^2}{R}. \]
Его создаёт сила трения покоя шин о дорогу. Пока автомобиль не занесло, эта сила не превышает максимального значения:
\[ F_{\text{тр}}\le \mu mg. \]
2. Условие отсутствия заноса
По второму закону Ньютона:
\[ m\frac{v^2}{R}=F_{\text{тр}}\le \mu mg. \]
Масса сокращается:
\[ \frac{v^2}{R}\le \mu g. \]
Отсюда:
\[ v\le \sqrt{\mu gR}. \]
Значит,
\[ v_{\max}=\sqrt{\mu gR}. \]
3. Число
\[ v_{\max}=\sqrt{0{,}4\cdot 9{,}8\cdot 16} =\sqrt{62{,}72}\approx 7{,}9\ \text{м/с}. \]
При \(g=10\):
\[ v_{\max}=\sqrt{0{,}4\cdot 10\cdot 16} =\sqrt{64}=8\ \text{м/с}. \]
Это примерно \(29\ \text{км/ч}\).
4. Зимой
Коэффициент трения стал меньше в 4 раза:
\[ \mu_2=\frac{0{,}4}{4}=0{,}1. \]
Тогда:
\[ v_{2,\max}=\sqrt{0{,}1\cdot 9{,}8\cdot 16} =\sqrt{15{,}68}\approx 4{,}0\ \text{м/с}. \]
Отношение скоростей:
\[ \frac{v_{1,\max}}{v_{2,\max}} = \sqrt{\frac{\mu_1}{\mu_2}} = \sqrt{\frac{0{,}4}{0{,}1}} = \sqrt{4}=2. \]
То есть скорость уменьшится в 2 раза.
Ответ:
\[
v_{\max}\approx 7{,}9\ \text{м/с}\ (\text{при }g=10\ —\ 8\ \text{м/с});
\]
зимой скорость уменьшится в \(2\) раза и станет около \(4\ \text{м/с}\).
Проверка: при \(v=8\ \text{м/с}\), \(R=16\ \text{м}\)
\[ a_{\text{ц}}=\frac{8^2}{16}=4\ \text{м/с}^2, \]
а \(\mu g=0{,}4\cdot 10=4\ \text{м/с}^2\). Это как раз предельное сцепление.
Что понять на будущее
- При торможении юзом ускорение \(a=\mu g\): масса не важна.
- На повороте предельная скорость \(v_{\max}=\sqrt{\mu gR}\): чем меньше коэффициент трения, тем меньше допустимая скорость.
- Если \(\mu\) уменьшить в 4 раза, скорость уменьшится не в 4, а в \(\sqrt{4}=2\) раза — из-за корня в формуле.
- Общий порядок решения: рисунок → силы → \(N=mg\) → \(F_{\text{тр}}=\mu N\) → второй закон Ньютона → нужная формула.
Если нужен ответ на вопрос перед № 267: особенно внимательным надо быть на повороте в дождь, при листопаде и гололёде — там \(\mu\) меньше, а значит, меньше и предельная скорость.
