Решить номера

На фото задания 148–151. Ответы даны для допустимых значений переменных, где исходные дроби существуют.

Краткие ответы

148. а) \(\dfrac{x-y}{y}\)
б) \(\dfrac{a^3}{m^4}\)
в) \(\left(\dfrac{a+b}{b}\right)^2\)
г) \(0\)

149. а) \(\dfrac{2x+1}{2x-1}\)
б) \(-\dfrac{5y}{y+1}\)
в) \(-a\)
г) \(\dfrac{(x-2)(x^2+2)}{x(x-3)}\)

150. а) \(\dfrac{10}{2m+1}\)
б) \(\dfrac{2}{x-3}\)

151. а) \(\dfrac{38a}{(2a^2+1)(a-3)}\)
б) \(10\)

Ключевые шаги

148

а) \[ \frac{x}{y^2}-\frac1x=\frac{x^2-y^2}{xy^2}, \qquad \frac1y+\frac1x=\frac{x+y}{xy}. \] При делении умножаем на обратную дробь: \[ \frac{(x-y)(x+y)}{xy^2}\cdot\frac{xy}{x+y} =\frac{x-y}{y}. \]

б) \[ \frac{a}{m^2}+\frac{a^2}{m^3} =\frac{a(m+a)}{m^3}, \] \[ \frac{m^2}{a^2}+\frac{m}{a} =\frac{m(m+a)}{a^2}. \] Тогда \[ \frac{a(m+a)}{m^3}\cdot\frac{a^2}{m(m+a)} =\frac{a^3}{m^4}. \]

в) Здесь сначала выполняется деление: \[ \frac{ab+b^2}{3}:\frac{b^3}{3a} = \frac{b(a+b)}{3}\cdot\frac{3a}{b^3} = \frac{a(a+b)}{b^2}. \] Прибавляем \(\frac{a+b}{b}\): \[ \frac{a(a+b)}{b^2}+\frac{a+b}{b} = \frac{(a+b)^2}{b^2}. \]

г) \[ \frac{5y}{x^2}\cdot\frac{x^2-xy}{5y} = \frac{5y}{x^2}\cdot\frac{x(x-y)}{5y} = \frac{x-y}{x}. \] Поэтому \[ \frac{x-y}{x}-\frac{x-y}{x}=0. \]

149

а) \[ \frac{x}{x+1}+1=\frac{2x+1}{x+1}. \] \[ \frac{2x+1}{x+1}\cdot\frac{x+1}{2x-1} =\frac{2x+1}{2x-1}. \]

б) \[ 1-\frac1{1-y} = \frac{1-y-1}{1-y} = -\frac{y}{1-y}. \] \[ \frac{5y^2}{1-y^2}:\left(-\frac{y}{1-y}\right) = \frac{5y^2}{(1-y)(1+y)}\cdot\left(-\frac{1-y}{y}\right) = -\frac{5y}{y+1}. \]

в) \[ \frac{4a}{2-a}-a = \frac{4a-a(2-a)}{2-a} = \frac{a(a+2)}{2-a}. \] \[ \frac{a(a+2)}{2-a}\cdot\frac{a-2}{a+2} = -a. \]

г) \[ x+\frac2x=\frac{x^2+2}{x}, \] поэтому \[ \frac{x-2}{x-3}\cdot\frac{x^2+2}{x} = \frac{(x-2)(x^2+2)}{x(x-3)}. \]

150

а) \[ \frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1} = \frac{(2m+1)^2-(2m-1)^2}{(2m-1)(2m+1)} = \frac{8m}{4m^2-1}. \] \[ \frac{8m}{4m^2-1}\cdot\frac{10m-5}{4m} = \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)}\cdot\frac{5(2m-1)}{4m} = \frac{10}{2m+1}. \]

б) \[ \frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3} = \frac{(x+3)^2+(x-3)^2}{x^2-9} = \frac{2(x^2+9)}{x^2-9}. \] Тогда \[ \frac{x+3}{x^2+9}\cdot\frac{2(x^2+9)}{(x-3)(x+3)} = \frac{2}{x-3}. \]

151

а) \[ \frac{6a+1}{a-3}-\frac{6a-1}{a+3} = \frac{(6a+1)(a+3)-(6a-1)(a-3)}{a^2-9} = \frac{38a}{a^2-9}. \] \[ \frac{a^2-9}{2a^2+1}\cdot\frac{38a}{a^2-9}\cdot\frac1{a-3} = \frac{38a}{(2a^2+1)(a-3)}. \]

б) \[ \frac{5x+y}{x-5y}+\frac{5x-y}{x+5y} = \frac{(5x+y)(x+5y)+(5x-y)(x-5y)}{x^2-25y^2}. \] Числитель: \[ 5x^2+26xy+5y^2+5x^2-26xy+5y^2 = 10(x^2+y^2). \] Поэтому \[ \frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2}:\frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2} = 10. \]

Проверка: например, в 150а при \(m=1\): \[ \left(3-\frac13\right):\frac45 = \frac83\cdot\frac54 = \frac{10}{3}, \] и формула даёт \(\frac{10}{2\cdot1+1}=\frac{10}{3}\).

Главный принцип: сначала привести суммы и разности дробей к общему знаменателю, деление заменить умножением на обратную дробь, затем разложить на множители и сократить. Не забывать про знаменатели, которые не должны быть равны нулю.