Найти промежутки монотонности и точки экстремума y=2x^2-7x+1

Кратко: функция убывает на \((-\infty;\frac74]\), возрастает на \([\frac74;+\infty)\). Точка минимума — \(x=\frac74\), значение минимума \(y_{\min}=-\frac{41}{8}\). Точки максимума нет.

Как это получить

Дана функция

\[ y=2x^2-7x+1. \]

1. Находим производную:

\[ y'=4x-7. \]

2. Приравниваем производную к нулю:

\[ 4x-7=0, \]

\[ x=\frac74. \]

Это единственная критическая точка.

3. Определяем знак производной:

• если \(x<\frac74\), то \(4x-7<0\), значит, функция убывает;
• если \(x>\frac74\), то \(4x-7>0\), значит, функция возрастает.

4. В точке \(x=\frac74\) производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.

Находим значение функции:

\[ y\left(\frac74\right) =2\cdot\frac{49}{16}-7\cdot\frac74+1 =\frac{98}{16}-\frac{49}{4}+1 =\frac{49}{8}-\frac{98}{8}+\frac88 =-\frac{41}{8}. \]

Ответ

\[ \boxed{ \text{убывает на } \left(-\infty;\frac74\right],\quad \text{возрастает на } \left[\frac74;+\infty\right) } \]

\[ \boxed{ x_{\min}=\frac74,\qquad y_{\min}=-\frac{41}{8} } \]

Точек максимума нет.