Найти промежутки монотонности и точки экстремума y=2x^2-7x+1

Краткий ответ:
\[ y'=4x-7,\qquad x=\frac74. \] Функция убывает на \(\left(-\infty;\frac74\right)\), возрастает на \(\left(\frac74;+\infty\right)\).
В точке \(x=\frac74\) — минимум: \[ y\left(\frac74\right)=-\frac{41}{8}. \] Точка экстремума: \(\left(\frac74;-\frac{41}{8}\right)\). Максимума нет.

Как рассуждать:

1. Находим производную: \[ y'=4x-7. \]

2. Приравниваем к нулю: \[ 4x-7=0 \Rightarrow x=\frac74. \]

3. Определяем знак производной:

• при \(x<\frac74\) производная отрицательна, значит функция убывает;
• при \(x>\frac74\) производная положительна, значит функция возрастает.

4. В точке \(x=\frac74\) знак производной меняется с «\(-\)» на «\(+\)», поэтому это точка минимума.

5. Проверка через параболу: ветви направлены вверх, вершина находится в точке \[ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-7}{2\cdot2}=\frac74, \] то есть минимум действительно в вершине.