Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ: \(x_1=2,\ x_2=3\).

Как решать

Уравнение имеет вид \(ax^2+bx+c=0\), где \(a=1,\ b=-5,\ c=6\).

Можно решить двумя способами.

1. Через дискриминант:

\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \]

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} =\frac{5\pm1}{2} \]

То есть:

\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]

2. Через теорему Виета:

Для уравнения \(x^2+bx+c=0\) корни удовлетворяют условиям:

\[ x_1+x_2=5,\qquad x_1x_2=6 \]

Подходят числа \(2\) и \(3\), потому что:

\[ 2+3=5,\qquad 2\cdot3=6 \]

Проверка

\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]

\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]

Оба корня подходят.

Принцип: если произведение двух выражений равно нулю, то хотя бы одно из них равно нулю. Поэтому уравнение раскладывается так:

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \]

Отсюда \(x=2\) или \(x=3\).