Реши задание на изображении
Краткий ответ
\(f(x)=17x-51\)
- \(f(x)=0\) при \(x=3\);
- \(f(x)<0\) при \(x<3\);
- \(f(x)>0\) при \(x>3\);
- функция возрастающая.
а) \(x^2-14x+45=(x-5)(x-9)\);
б) \(3y^2+7y-6=(3y-2)(y+3)\).\(\dfrac{3p^2+p-2}{4-9p^2}=-\dfrac{p+1}{3p+2}\), при \(p\ne \pm\dfrac23\).
По имеющемуся скриншоту графика нет, поэтому числовые значения для нулей, промежутков возрастания/убывания и области значений определить нельзя. Ниже — как это делать по графику.
Как решать
1. Линейная функция
Решаем уравнение:
\[ 17x-51=0 \]
\[ 17x=51 \]
\[ x=3 \]
Теперь знаки. Так как коэффициент при \(x\) равен \(17>0\), функция возрастает: слева от \(3\) она отрицательна, справа — положительна.
\[ f(x)<0 \text{ при } x<3 \]
\[ f(x)>0 \text{ при } x>3 \]
Почему возрастает: если взять \(x_2>x_1\), то
\[ f(x_2)-f(x_1)=17(x_2-x_1)>0 \]
Значит, большему \(x\) соответствует большее значение функции.
2. Разложение квадратного трёхчлена
Используем формулу:
\[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2), \]
где \(x_1,x_2\) — корни.
а) \(x^2-14x+45\)
Можно решить через дискриминант:
\[ D=(-14)^2-4\cdot 1\cdot 45=196-180=16 \]
\[ x_{1,2}=\frac{14\pm 4}{2} \]
\[ x_1=5,\quad x_2=9 \]
Значит:
\[ x^2-14x+45=(x-5)(x-9) \]
Проверка: \((x-5)(x-9)=x^2-9x-5x+45=x^2-14x+45\).
б) \(3y^2+7y-6\)
\[ D=7^2-4\cdot 3\cdot(-6)=49+72=121 \]
\[ y_{1,2}=\frac{-7\pm 11}{6} \]
\[ y_1=-3,\quad y_2=\frac23 \]
Тогда:
\[ 3y^2+7y-6=3\left(y-\frac23\right)(y+3) \]
Так как \(3\left(y-\frac23\right)=3y-2\), получаем:
\[ 3y^2+7y-6=(3y-2)(y+3) \]
3. Сокращение дроби
\[ \frac{3p^2+p-2}{4-9p^2} \]
Сначала раскладываем числитель:
\[ 3p^2+p-2=(3p-2)(p+1) \]
Знаменатель — разность квадратов:
\[ 4-9p^2=(2-3p)(2+3p) \]
Важно: \(2-3p=-(3p-2)\). Поэтому:
\[ 4-9p^2=-(3p-2)(3p+2) \]
Получаем:
\[ \frac{3p^2+p-2}{4-9p^2} = \frac{(3p-2)(p+1)}{-(3p-2)(3p+2)} \]
Сокращаем \(3p-2\):
\[ =-\frac{p+1}{3p+2} \]
Обязательно учитываем, что знаменатель исходной дроби не равен нулю:
\[ 4-9p^2\ne0 \]
\[ p\ne \frac23,\quad p\ne -\frac23 \]
4. Исследование функции по графику
По графику:
- нули функции — это \(x\), при которых график пересекает ось \(Ox\), то есть \(g(x)=0\);
- промежутки возрастания — участки оси \(x\), где график идёт вверх слева направо;
- промежутки убывания — где график идёт вниз;
- область значений — все значения \(y\), которые «покрывает» график. Это проекция графика на ось \(Oy\).
Область определения \([−2;6]\) говорит только о том, какие \(x\) допустимы. Чтобы найти область значений и промежутки монотонности, нужен сам график.
Пришлите, пожалуйста, фото графика к заданию 4 — тогда я дорешаю его по конкретным точкам. Пункт 5 на скриншоте тоже обрезан.
