266
Ответ:
а) \(x=-2\);
б) \(x=\pm \frac15\);
в) \(y=2\) или \(y=-\frac72\);
г) \(x=\pm \frac12\).
Как решать: сначала раскрываем скобки или убираем дробь, приводим подобные слагаемые, затем решаем получившееся линейное или квадратное уравнение. Помогают формулы: \[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2,\qquad (a-b)(a+b)=a^2-b^2. \]
а)
\[
(8x-1)(2x-3)-(4x-1)^2=38
\]
Раскрываем:
\[
16x^2-26x+3-(16x^2-8x+1)=38
\]
\[
-18x+2=38
\]
\[
-18x=36,\quad x=-2
\]
б)
\[
\frac{(15x-1)(1+15x)}3=2\frac23=\frac83
\]
Умножаем обе части на \(3\):
\[
(15x-1)(15x+1)=8
\]
По формуле разности квадратов:
\[
225x^2-1=8
\]
\[
225x^2=9,\quad x^2=\frac1{25}
\]
\[
x=\pm\frac15
\]
в)
\[
0{,}5y^3-0{,}5y(y+1)(y-3)=7
\]
Сначала:
\[
(y+1)(y-3)=y^2-2y-3
\]
Тогда левая часть:
\[
0{,}5y^3-0{,}5y(y^2-2y-3)
=y^2+\frac32y
\]
Получаем:
\[
y^2+\frac32y=7
\]
\[
2y^2+3y-14=0
\]
\[
D=9+112=121
\]
\[
y=\frac{-3\pm 11}{4}
\]
Отсюда:
\[
y_1=2,\qquad y_2=-\frac72
\]
г)
\[
x^4-x^2=\frac{(1+2x^2)(2x^2-1)}4
\]
В числителе — разность квадратов:
\[
(1+2x^2)(2x^2-1)=(2x^2+1)(2x^2-1)=4x^4-1
\]
Тогда:
\[
x^4-x^2=\frac{4x^4-1}{4}=x^4-\frac14
\]
\(x^4\) сокращается:
\[
-x^2=-\frac14
\]
\[
x^2=\frac14
\]
\[
x=\pm\frac12
\]
Проверка: подстановка каждого корня в исходное уравнение даёт верное равенство. Посторонних корней здесь нет, потому что обе части умножали только на ненулевые числа и не делили на \(x\).
