Решить

Question 1

Задача Задача №3769225

А

Аноним

3 дня назад · публичный вопрос

А

Аноним 3 дня назад

Решить

Answer

Коротко: пользуемся правилом
\[ \sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}, \] одинаковые корни можно объединять: \[ \sqrt[n]{A}\cdot\sqrt[n]{B}=\sqrt[n]{AB},\qquad \sqrt[n]{A}:\sqrt[n]{B}=\sqrt[n]{\frac AB}, \] а «корень из корня»: \[ \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}. \] Буквы по условию положительны, поэтому модули не пишем.

1. Корень из одночлена

\[ \sqrt[3]{a^6b^9}=a^2b^3,\qquad \sqrt[3]{64x^3z^6}=4xz^2. \]
\[ \sqrt[3]{a^{12}b^3}=a^4b,\qquad \sqrt[3]{1000a^6b^6}=10a^2b^2. \]

2. Произведение

\[ \sqrt[3]{ab^2}\cdot\sqrt[3]{a^2b} =\sqrt[3]{a^3b^3}=ab. \]
\[ \sqrt[3]{a^2b^4}\cdot\sqrt[3]{ab^2} =\sqrt[3]{a^3b^6}=ab^2. \]

3. Корень из дроби

\[ \sqrt[3]{\frac1{64}}=\frac14,\qquad \sqrt[4]{\frac{81}{16}}=\frac32,\qquad \sqrt[5]{\frac{32}{243}}=\frac23. \]
\[ \sqrt[3]{\frac{125}{216}}=\frac56,\qquad \sqrt[4]{\frac{625}{16}}=\frac52,\qquad \sqrt[3]{\frac{512}{27}}=\frac83. \]

4. Деление

\[ \sqrt[3]{b^2z}:\sqrt[3]{bz} =\sqrt[3]{\frac{b^2z}{bz}}=\sqrt[3]{b}. \]
\[ \sqrt[3]{ax^2}:\sqrt[3]{x} =\sqrt[3]{ax}. \]
\[ 3a\sqrt b:a\sqrt{bc} =\frac{3\sqrt b}{\sqrt{bc}} =\frac3{\sqrt c} =\frac{3\sqrt c}{c}. \]
\[ 6x\sqrt x:2\sqrt{xy} =\frac{3x\sqrt x}{\sqrt{xy}} =\frac{3x}{\sqrt y}. \]
\[ 4\sqrt{x^3y^3}:\frac12\sqrt{xy} =8\sqrt{x^2y^2}=8xy. \]
\[ \frac13\sqrt{\frac1{bc}}:\sqrt{bc} =\frac13\cdot\frac1{\sqrt{bc}}\cdot\frac1{\sqrt{bc}} =\frac1{3bc}. \]

5. Вложенные корни

\[ \sqrt{\sqrt[3]{3}}=\sqrt[6]{3},\quad \sqrt[5]{\sqrt7}=\sqrt[10]{7},\quad \sqrt[3]{\sqrt5}=\sqrt[6]{5},\quad \sqrt{\sqrt2}=\sqrt[4]{2}. \]
\[ \sqrt[8]{\sqrt[3]{25}} =\sqrt[24]{25} =\sqrt[12]{5}, \] \[ \sqrt[4]{\sqrt[3]{4}} =\sqrt[12]{4} =\sqrt[6]{2}, \] \[ \sqrt[3]{\sqrt4} =\sqrt[6]{4} =\sqrt[3]{2}, \] \[ \sqrt[3]{\sqrt[3]{27}} =\sqrt[9]{27} =\sqrt[3]{3}. \]
\[ \sqrt[3]{a^{12}b^{36}}=a^4b^{12}. \]
\[ \sqrt[5]{c^{20}d^{10}}=c^4d^2. \]

6. Упрощение дробей с корнями

\[ \frac{3\sqrt[3]{a^{18}}}{(\sqrt[5]{a})^{10}} =\frac{3a^6}{a^2} =3a^4. \]
\[ \frac{(a\sqrt[3]{bc})^3}{a^2(bc)^3} =\frac{a^3bc}{a^2b^3c^3} =\frac{a}{b^2c^2}. \]
\[ \frac{\left(c\sqrt[4]{\frac cd}\right)^4}{\sqrt[5]{c^{20}}} =\frac{c^4\cdot\frac cd}{c^4} =\frac cd. \]
\[ \frac{\sqrt[4]{a^8c^{24}}}{(\sqrt[3]{a^3b})^6} =\frac{a^2c^6}{a^6b^2} =\frac{c^6}{a^4b^2}. \]

Проверка: например,
\[ (4xz^2)^3=64x^3z^6, \] то есть при обратном возведении в степень действительно получается исходное подкоренное выражение.

Question 2

решить

Answer

Коротко: пользуемся правилом \[ \sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}, \] одинаковые корни можно объединять: \[ \sqrt[n]{A}\cdot\sqrt[n]{B}=\sqrt[n]{AB},\qquad \sqrt[n]{A}:\sqrt[n]{B}=\sqrt[n]{\frac AB}, \] а «корень из корня»: \[ \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}. \] Буквы по условию положительны, поэтому модули не пишем. ### 1. Корень из одночлена 1) \[ \sqrt[3]{a^6b^9}=a^2b^3,\qquad \sqrt[3]{64x^3z^6}=4xz^2. \] 2) \[ \sqrt[3]{a^{12}b^3}=a^4b,\qquad \sqrt[3]{1000a^6b^6}=10a^2b^2. \] ### 2. Произведение 1) \[ \sqrt[3]{ab^2}\cdot\sqrt[3]{a^2b} =\sqrt[3]{a^3b^3}=ab. \] 2) \[ \sqrt[3]{a^2b^4}\cdot\sqrt[3]{ab^2} =\sqrt[3]{a^3b^6}=ab^2. \] ### 3. Корень из дроби 1) \[ \sqrt[3]{\frac1{64}}=\frac14,\qquad \sqrt[4]{\frac{81}{16}}=\frac32,\qquad \sqrt[5]{\frac{32}{243}}=\frac23. \] 2) \[ \sqrt[3]{\frac{125}{216}}=\frac56,\qquad \sqrt[4]{\frac{625}{16}}=\frac52,\qquad \sqrt[3]{\frac{512}{27}}=\frac83. \] ### 4. Деление 1) \[ \sqrt[3]{b^2z}:\sqrt[3]{bz} =\sqrt[3]{\frac{b^2z}{bz}}=\sqrt[3]{b}. \] 2) \[ \sqrt[3]{ax^2}:\sqrt[3]{x} =\sqrt[3]{ax}. \] 3) \[ 3a\sqrt b:a\sqrt{bc} =\frac{3\sqrt b}{\sqrt{bc}} =\frac3{\sqrt c} =\frac{3\sqrt c}{c}. \] 4) \[ 6x\sqrt x:2\sqrt{xy} =\frac{3x\sqrt x}{\sqrt{xy}} =\frac{3x}{\sqrt y}. \] 5) \[ 4\sqrt{x^3y^3}:\frac12\sqrt{xy} =8\sqrt{x^2y^2}=8xy. \] 6) \[ \frac13\sqrt{\frac1{bc}}:\sqrt{bc} =\frac13\cdot\frac1{\sqrt{bc}}\cdot\frac1{\sqrt{bc}} =\frac1{3bc}. \] ### 5. Вложенные корни 1) \[ \sqrt{\sqrt[3]{3}}=\sqrt[6]{3},\quad \sqrt[5]{\sqrt7}=\sqrt[10]{7},\quad \sqrt[3]{\sqrt5}=\sqrt[6]{5},\quad \sqrt{\sqrt2}=\sqrt[4]{2}. \] 2) \[ \sqrt[8]{\sqrt[3]{25}} =\sqrt[24]{25} =\sqrt[12]{5}, \] \[ \sqrt[4]{\sqrt[3]{4}} =\sqrt[12]{4} =\sqrt[6]{2}, \] \[ \sqrt[3]{\sqrt4} =\sqrt[6]{4} =\sqrt[3]{2}, \] \[ \sqrt[3]{\sqrt[3]{27}} =\sqrt[9]{27} =\sqrt[3]{3}. \] 3) \[ \sqrt[3]{a^{12}b^{36}}=a^4b^{12}. \] 4) \[ \sqrt[5]{c^{20}d^{10}}=c^4d^2. \] ### 6. Упрощение дробей с корнями 1) \[ \frac{3\sqrt[3]{a^{18}}}{(\sqrt[5]{a})^{10}} =\frac{3a^6}{a^2} =3a^4. \] 2) \[ \frac{(a\sqrt[3]{bc})^3}{a^2(bc)^3} =\frac{a^3bc}{a^2b^3c^3} =\frac{a}{b^2c^2}. \] 3) \[ \frac{\left(c\sqrt[4]{\frac cd}\right)^4}{\sqrt[5]{c^{20}}} =\frac{c^4\cdot\frac cd}{c^4} =\frac cd. \] 4) \[ \frac{\sqrt[4]{a^8c^{24}}}{(\sqrt[3]{a^3b})^6} =\frac{a^2c^6}{a^6b^2} =\frac{c^6}{a^4b^2}. \] Проверка: например, \[ (4xz^2)^3=64x^3z^6, \] то есть при обратном возведении в степень действительно получается исходное подкоренное выражение.