Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. \(\displaystyle \lim_{x\to 2}\left(x-\frac{1}{2x}+8x^2\right)=\frac{135}{4}=33{,}75\)
2. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{3x}{5x-x^2}=\frac35\)
3. \(\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{4-3x+2x^4}{10x^3-x^4+7x^2}=-2\)
4. \(\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(6+x)}{x^2-9}=\frac32\)

Как рассуждать

1. Здесь нет неопределённости: \(x=2\) можно подставить сразу, так как знаменатель \(2x=4\ne0\).

\[ 2-\frac{1}{4}+8\cdot 2^2 =2-\frac14+32 =\frac{135}{4}. \]

2. При \(x=0\) получается \(\frac00\). Разложим знаменатель:

\[ 5x-x^2=x(5-x). \]

Тогда при \(x\ne0\):

\[ \frac{3x}{x(5-x)}=\frac{3}{5-x}\to \frac{3}{5}. \]

То есть общий множитель \(x\) сократился.

3. При \(x\to\infty\) смотрим на старшие степени. В числителе старшая степень — \(2x^4\), в знаменателе — \(-x^4\). Поэтому:

\[ \frac{4-3x+2x^4}{10x^3-x^4+7x^2} \sim \frac{2x^4}{-x^4}=-2. \]

Можно и поделить числитель и знаменатель на \(x^4\):

\[ \frac{\frac4{x^4}-\frac3{x^3}+2}{\frac{10}{x}-\frac1{} +1?} \]

Аккуратно:

\[ \frac{\frac4{x^4}-\frac3{x^3}+2}{\frac{10}{x}-1+\frac7{x^2}} \to \frac{2}{-1}=-2. \]

4. При \(x=3\) снова \(\frac00\). Разложим знаменатель:

\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \]

Тогда при \(x\ne3\):

\[ \frac{(x-3)(6+x)}{(x-3)(x+3)} =\frac{6+x}{x+3}. \]

Переходим к пределу:

\[ \frac{6+3}{3+3}=\frac96=\frac32. \]

Проверка: в заданиях 2 и 4 после сокращения неопределённость исчезает, а в задании 3 предел определяется отношением старших коэффициентов.