Реши задание на изображении

Кратко:

1. \(\displaystyle \lim_{x\to 0} e^{\sin x}=1\)
2. \(\displaystyle \lim_{t\to 0}(1+t)^{1/t}=e\)
3. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{15x^2}{\sin x}=0\)
4. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}7(1+x)^{1/x}=7e\)
5. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{1/x}}{52e}=\frac1{52}\)
6. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{(\sin x)^2}{x^2+2x^3}=1\)

Как рассуждать

Здесь используются два основных предела:

\[ \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1, \qquad \lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e. \]

1. Функция \(e^{\sin x}\) непрерывна при \(x=0\), поэтому просто подставляем:

\[ e^{\sin 0}=e^0=1. \]

2. Это второй замечательный предел в стандартном виде:

\[ \lim_{t\to0}(1+t)^{1/t}=e. \]

3. Выделяем стандартный предел:

\[ \frac{15x^2}{\sin x} =15x\cdot\frac{x}{\sin x}. \]

При \(x\to0\) имеем \(\frac{x}{\sin x}\to1\), а \(15x\to0\). Поэтому предел равен \(0\).

4. Постоянный множитель можно вынести:

\[ 7\cdot\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=7e. \]

5. Сначала вычисляем числитель:

\[ \lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e. \]

Знаменатель постоянный, \(52e\), поэтому:

\[ \frac{e}{52e}=\frac1{52}. \]

6. Разделим числитель и знаменатель на \(x^2\):

\[ \frac{(\sin x)^2}{x^2+2x^3} = \frac{\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2}{1+2x}. \]

Так как \(\frac{\sin x}{x}\to1\), получаем:

\[ \frac{1^2}{1+0}=1. \]

Проверка: во всех дробях при подстановке возникает неопределённость \(0/0\), кроме №1, где подстановка сразу даёт определённое значение.