Реши задание на изображении

Question 1

Задача Задача №3769268

А

Аноним

3 дня назад · публичный вопрос

А

Аноним 3 дня назад

Реши задание на изображении

Answer

Краткие ответы:

\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{5\operatorname{tg}x}{\sin x}=5\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin20x}{\sin10x}=2\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin9x}{14x}=\frac{9}{14}\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}mx}{mx}=1\) при \(m\neq0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\sin5x\cdot\operatorname{ctg}4x=\frac54\)

Главный принцип: используется первый замечательный предел \[ \lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1. \] Из него также следует \[ \lim_{t\to0}\frac{\operatorname{tg}t}{t}=1, \] потому что \(\operatorname{tg}t=\dfrac{\sin t}{\cos t}\), а \(\cos t\to1\).

1. \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{5\operatorname{tg}x}{\sin x}\)

Подстановка \(x=0\) даёт \(\frac00\), поэтому преобразуем: \[ \frac{5\operatorname{tg}x}{\sin x} = \frac{5\sin x}{\cos x}\cdot\frac1{\sin x} = \frac5{\cos x}. \] При \(x\to0\) имеем \(\cos x\to1\), значит: \[ \frac5{\cos x}\to5. \]

2. \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin20x}{\sin10x}\)

Выделим первый замечательный предел: \[ \frac{\sin20x}{\sin10x} = \frac{20x}{10x}\cdot \frac{\frac{\sin20x}{20x}}{\frac{\sin10x}{10x}}. \] При \(x\to0\) обе дроби с синусами стремятся к \(1\), а \(\frac{20x}{10x}=2\). Поэтому: \[ 2\cdot\frac11=2. \]

3. \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin9x}{14x}\)

\[ \frac{\sin9x}{14x} = \frac9{14}\cdot\frac{\sin9x}{9x}. \] Так как \(\dfrac{\sin9x}{9x}\to1\), получаем: \[ \frac9{14}. \]

4. \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}mx}{mx}\)

Пусть \(t=mx\). Если \(m\neq0\), то при \(x\to0\) также \(t\to0\). Тогда: \[ \frac{\operatorname{tg}mx}{mx}=\frac{\operatorname{tg}t}{t}\to1. \] Если \(m=0\), выражение вообще не определено, поэтому стандартно подразумевается \(m\neq0\).

5. \(\displaystyle \lim_{x\to0}\sin5x\cdot\operatorname{ctg}4x\)

Так как \(\operatorname{ctg}4x=\dfrac{\cos4x}{\sin4x}\), имеем: \[ \sin5x\cdot\operatorname{ctg}4x = \cos4x\cdot\frac{\sin5x}{\sin4x}. \] Далее: \[ \frac{\sin5x}{\sin4x} = \frac{5x}{4x}\cdot \frac{\frac{\sin5x}{5x}}{\frac{\sin4x}{4x}} \to \frac54\cdot\frac11=\frac54. \] При этом \(\cos4x\to1\). Поэтому ответ: \[ \frac54. \]

Проверка через эквивалентные бесконечно малые: при \(x\to0\)
\(\sin kx\sim kx\), \(\operatorname{tg}kx\sim kx\). Тогда сразу получаются те же ответы: \(5,\ 2,\ \frac9{14},\ 1,\ \frac54\).

Question 2

Реши задание на изображении

Answer

**Краткие ответы:** 1. \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{5\operatorname{tg}x}{\sin x}=5\) 2. \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin20x}{\sin10x}=2\) 3. \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin9x}{14x}=\frac{9}{14}\) 4. \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}mx}{mx}=1\) при \(m\neq0\) 5. \(\displaystyle \lim_{x\to0}\sin5x\cdot\operatorname{ctg}4x=\frac54\) **Главный принцип:** используется первый замечательный предел \[ \lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1. \] Из него также следует \[ \lim_{t\to0}\frac{\operatorname{tg}t}{t}=1, \] потому что \(\operatorname{tg}t=\dfrac{\sin t}{\cos t}\), а \(\cos t\to1\). ### 1. \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{5\operatorname{tg}x}{\sin x}\) Подстановка \(x=0\) даёт \(\frac00\), поэтому преобразуем: \[ \frac{5\operatorname{tg}x}{\sin x} = \frac{5\sin x}{\cos x}\cdot\frac1{\sin x} = \frac5{\cos x}. \] При \(x\to0\) имеем \(\cos x\to1\), значит: \[ \frac5{\cos x}\to5. \] ### 2. \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin20x}{\sin10x}\) Выделим первый замечательный предел: \[ \frac{\sin20x}{\sin10x} = \frac{20x}{10x}\cdot \frac{\frac{\sin20x}{20x}}{\frac{\sin10x}{10x}}. \] При \(x\to0\) обе дроби с синусами стремятся к \(1\), а \(\frac{20x}{10x}=2\). Поэтому: \[ 2\cdot\frac11=2. \] ### 3. \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin9x}{14x}\) \[ \frac{\sin9x}{14x} = \frac9{14}\cdot\frac{\sin9x}{9x}. \] Так как \(\dfrac{\sin9x}{9x}\to1\), получаем: \[ \frac9{14}. \] ### 4. \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}mx}{mx}\) Пусть \(t=mx\). Если \(m\neq0\), то при \(x\to0\) также \(t\to0\). Тогда: \[ \frac{\operatorname{tg}mx}{mx}=\frac{\operatorname{tg}t}{t}\to1. \] Если \(m=0\), выражение вообще не определено, поэтому стандартно подразумевается \(m\neq0\). ### 5. \(\displaystyle \lim_{x\to0}\sin5x\cdot\operatorname{ctg}4x\) Так как \(\operatorname{ctg}4x=\dfrac{\cos4x}{\sin4x}\), имеем: \[ \sin5x\cdot\operatorname{ctg}4x = \cos4x\cdot\frac{\sin5x}{\sin4x}. \] Далее: \[ \frac{\sin5x}{\sin4x} = \frac{5x}{4x}\cdot \frac{\frac{\sin5x}{5x}}{\frac{\sin4x}{4x}} \to \frac54\cdot\frac11=\frac54. \] При этом \(\cos4x\to1\). Поэтому ответ: \[ \frac54. \] **Проверка через эквивалентные бесконечно малые:** при \(x\to0\) \(\sin kx\sim kx\), \(\operatorname{tg}kx\sim kx\). Тогда сразу получаются те же ответы: \(5,\ 2,\ \frac9{14},\ 1,\ \frac54\).