Реши задание на изображении

Краткие ответы

33.14.
а) \(x=-22\);
б) решений нет;
в) \(x=-\frac92=-4{,}5\);
г) \(x=-\frac{57}{4}=-14{,}25\).

33.15.
а) \(x=1;\ 8\);
б) \(x=1;\ 9\);
в) \(x=-7;\ 4\);
г) \(x=-4;\ -3\).

33.16 — в порядке возрастания:
а) \(\sqrt[3]{5}<2<\sqrt[4]{17}\);
б) \(\sqrt[4]{100}<4<\sqrt[3]{75}\);
в) \(\sqrt[3]{7}<\sqrt[5]{40}<3\);
г) \(\sqrt[6]{60}<2<\sqrt[4]{20}\).

33.17 — в порядке убывания:
а) \(\sqrt[4]{0{,}1}>-1>\sqrt[3]{-5}\);
б) \(0>\sqrt[3]{-0{,}25}>\sqrt[5]{-29}\);
в) \(\sqrt[3]{-1{,}5}>-2>\sqrt[3]{-9}\);
г) \(\sqrt[4]{2}>1>\sqrt[3]{-2}\).

Как решать уравнения с корнями

Для корня нечётной степени: \[ \sqrt[n]{A}=b \quad\Rightarrow\quad A=b^n. \] Это можно делать без ограничений: нечётный корень определён для любого числа.

Для корня чётной степени сначала проверяем знак правой части. Арифметический корень чётной степени не бывает отрицательным. Поэтому, например, \[ \sqrt[4]{4-5x}=-2 \] решений не имеет: левая часть всегда \(\ge 0\), а справа \(-2\).

Если всё же возвести в 4-ю степень, получится \(x=-\frac{12}{5}\), но тогда \[ \sqrt[4]{4-5x}=\sqrt[4]{16}=2\ne -2, \] то есть это посторонний корень.

Основные преобразования:

\[ 33.14:\quad \begin{aligned} \text{а)}&\ x-5=(-3)^3=-27 \Rightarrow x=-22;\\ \text{в)}&\ 2x+8=(-1)^5=-1 \Rightarrow x=-4{,}5;\\ \text{г)}&\ 7-4x=4^3=64 \Rightarrow x=-14{,}25. \end{aligned} \]

\[ 33.15:\quad \begin{aligned} \text{а)}&\ x^2-9x-19=-27 \Rightarrow x^2-9x+8=0 \Rightarrow x=1;8;\\ \text{б)}&\ x^2-10x+25=16 \Rightarrow (x-5)^2=16 \Rightarrow x=1;9;\\ \text{в)}&\ 2x^2+6x-57=-1 \Rightarrow x^2+3x-28=0 \Rightarrow x=-7;4;\\ \text{г)}&\ x^2+7x+13=1 \Rightarrow x^2+7x+12=0 \Rightarrow x=-4;-3. \end{aligned} \]

Подстановкой все найденные корни подходят; в пункте 33.14 б) корней нет из-за отрицательной правой части.

Как сравнивать корни разных степеней

Положительные числа можно возводить в одну и ту же степень — порядок сохраняется. Поэтому разные корни сравнивают, возводя их в общую степень.

Например: \[ \sqrt[3]{5}<2, \] так как \(5<2^3=8\). А \[ 2<\sqrt[4]{17}, \] так как \(2^4=16<17\).

Для 33.16 в): \[ \sqrt[3]{7}<\sqrt[5]{40}, \] если возвести обе части в 15-ю степень: \[ 7^5=16807<40^3=64000. \] Кроме того, \(\sqrt[5]{40}<3\), потому что \(40<3^5=243\).

В заданиях с отрицательными числами удобно учитывать знак: чётный корень неотрицателен, а нечётный корень из отрицательного числа отрицателен. Например, \[ \sqrt[3]{-1{,}5}>-2, \] так как после возведения в куб: \[ -1{,}5>(-2)^3=-8. \]