Реши и напиши так чтоб лехко было понять и переписать
Коротко: 1а) \(0\); 1б) \(-\frac{\sqrt3}{2}\); 2) тождество доказывается; 3) \(f\) — чётная, \(g\) — нечётная; 4) max \(\left(\frac{3\pi}{8}+\pi k;\frac12\right)\), min \(\left(\frac{7\pi}{8}+\pi k;-\frac12\right)\); 5) \([-1;0)\cup(0;1]\).
1. Есептеңіз.
а)
\[
2\cos60^\circ-\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}
=2\cdot\frac12-1=1-1=0.
\]
б)
\[
\sin(-420^\circ)=-\sin420^\circ
=-\sin(360^\circ+60^\circ)
=-\sin60^\circ
=-\frac{\sqrt3}{2}.
\]
2. Теңдікті дәлелдеңіз.
\[ \frac{2\sin3\alpha\cos\alpha-\sin2\alpha}{\cos2\alpha-\cos6\alpha} =\frac{1}{4\sin\alpha\cos\alpha}. \]
Используем формулу \(2\sin A\cos B=\sin(A+B)+\sin(A-B)\):
\[ 2\sin3\alpha\cos\alpha=\sin4\alpha+\sin2\alpha. \]
Тогда числитель:
\[ \sin4\alpha+\sin2\alpha-\sin2\alpha=\sin4\alpha. \]
Знаменатель по формуле \(\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\):
\[ \cos2\alpha-\cos6\alpha =-2\sin4\alpha\sin(-2\alpha) =2\sin4\alpha\sin2\alpha. \]
Значит,
\[ \frac{\sin4\alpha}{2\sin4\alpha\sin2\alpha} =\frac{1}{2\sin2\alpha} =\frac{1}{2\cdot 2\sin\alpha\cos\alpha} =\frac{1}{4\sin\alpha\cos\alpha}. \]
Тождество доказано при допустимых \(\alpha\), где знаменатели не равны нулю.
3. \(f(x)\) жұп, \(g(x)\) тақ екенін дәлелдеңіз.
\[ f(x)=3x^2-\cos x. \]
\[ f(-x)=3(-x)^2-\cos(-x)=3x^2-\cos x=f(x). \]
Значит, \(f(x)\) — чётная функция.
\[ g(x)=\sin x-2x+x^3. \]
\[ g(-x)=\sin(-x)-2(-x)+(-x)^3 =-\sin x+2x-x^3 =-(\sin x-2x+x^3)=-g(x). \]
Значит, \(g(x)\) — нечётная функция.
4. Графигін сызып, экстремум нүктелерін табыңыз.
\[ y=\frac12\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right) =\frac12\sin\left(2\left(x-\frac{\pi}{8}\right)\right). \]
Период:
\[
T=\frac{2\pi}{2}=\pi.
\]
Амплитуда: \(\frac12\), сдвиг вправо на \(\frac{\pi}{8}\).
Точки для графика на одном периоде:
| \(x\) | \(\frac{\pi}{8}\) | \(\frac{3\pi}{8}\) | \(\frac{5\pi}{8}\) | \(\frac{7\pi}{8}\) | \(\frac{9\pi}{8}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(0\) | \(\frac12\) | \(0\) | \(-\frac12\) | \(0\) |
Соедини эти точки плавной синусоидой и повторяй график через период \(\pi\).
Экстремумы:
\[ \max:\quad \left(\frac{3\pi}{8}+\pi k;\ \frac12\right), \]
\[ \min:\quad \left(\frac{7\pi}{8}+\pi k;\ -\frac12\right), \quad k\in\mathbb Z. \]
5. Функцияның анықталу облысын табыңыз.
\[ f(x)=\frac{1}{\arcsin x}. \]
\(\arcsin x\) существует только при
\[ -1\le x\le 1. \]На ноль делить нельзя: \[ \arcsin x\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne0. \]
Значит,
\[ \boxed{D(f)=[-1;0)\cup(0;1]}. \]
