Реши задание на изображении

Кратко: используем формулы \[ z=a+bi,\quad r=|z|=\sqrt{a^2+b^2},\quad \cos\varphi=\frac ar,\quad \sin\varphi=\frac br. \] Тогда:

• тригонометрическая форма: \(r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\);
• показательная: \(r e^{i\varphi}\);
• геометрически: точка/вектор \((a;b)\).

Угол можно записывать и отрицательным, и в пределах \(0\le\varphi<2\pi\) — это одно и то же.

3) Записать в трёх формах

а) \(z=1+i\)

\[ r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2,\qquad \varphi=\frac{\pi}{4}. \]

• Тригонометрическая: \[ \sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right) \]
• Показательная: \[ \sqrt2\,e^{i\pi/4} \]
• Геометрически: точка \((1;1)\), вектор из начала координат в эту точку.

б) \(z=4i=0+4i\)

\[ r=4,\qquad \varphi=\frac{\pi}{2}. \]

• Тригонометрическая: \[ 4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right) \]
• Показательная: \[ 4e^{i\pi/2} \]
• Геометрически: точка \((0;4)\).

в) \(z=1-\sqrt3 i\)

\[ r=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2, \] \[ \cos\varphi=\frac12,\quad \sin\varphi=-\frac{\sqrt3}{2} \Rightarrow \varphi=-\frac{\pi}{3} \] или, если брать угол от \(0\) до \(2\pi\): \[ \varphi=\frac{5\pi}{3}. \]

• Тригонометрическая: \[ 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) \] или \[ 2\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right). \]
• Показательная: \[ 2e^{-i\pi/3} \] или \(2e^{i5\pi/3}\).
• Геометрически: точка \((1;-\sqrt3)\).

4) По графику сначала находим \(z\)

а) Точка на действительной оси в \(-2\)

\[ z=-2=-2+0i. \] \[ r=2,\qquad \varphi=\pi. \]

• Алгебраическая: \(-2\).
• Тригонометрическая: \[ 2(\cos\pi+i\sin\pi). \]
• Показательная: \[ 2e^{i\pi}. \]
• Геометрически: \((-2;0)\).

б) Точка на мнимой оси в \(-3\)

\[ z=-3i=0-3i. \] \[ r=3,\qquad \varphi=\frac{3\pi}{2} \] или \(-\frac{\pi}{2}\).

• Алгебраическая: \(0-3i\).
• Тригонометрическая: \[ 3\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right). \]
• Показательная: \[ 3e^{i3\pi/2}=3e^{-i\pi/2}. \]
• Геометрически: \((0;-3)\).

5) \(z=4\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)\)

Здесь уже дана тригонометрическая форма: \[ r=4,\qquad \varphi=\frac{\pi}{3}. \]

• Алгебраическая: \[ z=4\left(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right) =2+2\sqrt3\,i. \]
• Показательная: \[ z=4e^{i\pi/3}. \]
• Геометрически: точка \[ (2;\,2\sqrt3), \] вектор длины \(4\) под углом \(60^\circ\).

6) \(z=3e^{i7\pi/4}\)

\[ r=3,\qquad \varphi=\frac{7\pi}{4}. \] Так как \[ \cos\frac{7\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \sin\frac{7\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}, \] то:

• Алгебраическая: \[ z=3\left(\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}\right) =\frac{3\sqrt2}{2}-\frac{3\sqrt2}{2}i. \]
• Тригонометрическая: \[ 3\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right). \] Можно записать и так: \[ 3\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right). \]
• Геометрически: точка \[ \left(\frac{3\sqrt2}{2};\,-\frac{3\sqrt2}{2}\right), \] вектор длины \(3\) под углом \(-45^\circ\).

Домашнее задание: \(z=5+5i\)

\[ r=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2, \] \[ \cos\varphi=\frac{5}{5\sqrt2}=\frac1{\sqrt2},\quad \sin\varphi=\frac1{\sqrt2} \Rightarrow \varphi=\frac{\pi}{4}. \]

• Тригонометрическая: \[ 5\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right). \]
• Показательная: \[ 5\sqrt2\,e^{i\pi/4}. \]
• Геометрически: точка/вектор \((5;5)\).

Как это понимать

Главное — найти длину \(r\) и угол \(\varphi\). Длина считается по теореме Пифагора: \[ r=\sqrt{a^2+b^2}. \] А угол находится из \[ \cos\varphi=\frac ar,\qquad \sin\varphi=\frac br. \] При этом важно смотреть на знаки \(a\) и \(b\), чтобы не ошибиться с четвертью.

Проверка: например, в задаче 3в: \[ 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) =2\left(\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}\right) =1-\sqrt3 i. \] Всё сходится.