262

Краткий ответ

а) \(y=\sqrt{0{,}1x-2}\): область определения \(x\in[20;+\infty)\).

б) \(y=\sqrt[4]{5-2x}\): область определения \(x\in(-\infty;2{,}5]\).

в) \(y=\sqrt[3]{8x+1}\): область определения \(x\in\mathbb R\), то есть \((-\infty;+\infty)\).

Как рассуждать

1. Область определения — это все \(x\), при которых выражение вообще имеет смысл.
2. Корень чётной степени (квадратный, четвёртой, шестой и т. д.) существует только из неотрицательного числа. Поэтому подкоренное выражение должно быть \(\ge 0\).
3. Корень нечётной степени (третьей, пятой и т. д.) существует из любого числа, в том числе из отрицательного. Поэтому для кубического корня ограничений на подкоренное выражение нет.

Решаем:

а) \(0{,}1x-2\ge0\)
\(0{,}1x\ge2\)
\(x\ge20\).

б) \(5-2x\ge0\)
\(-2x\ge-5\)
при делении на отрицательное число знак меняется:
\(x\le2{,}5\).

в) \(8x+1\) может быть любым, значит \(x\) — любое действительное число.

Проверка

• В пункте а) при \(x=20\) под корнем \(0\) — можно; при \(x=19\) под корнем \(-0{,}1\) — нельзя.
• В пункте б) при \(x=2{,}5\) под корнем \(0\) — можно; при \(x=2{,}6\) под корнем \(-0{,}2\) — нельзя.
• В пункте в), например, при \(x=-1\) под корнем \(-7\), но \(\sqrt[3]{-7}\) существует.