Реши эти задачи
Кратко:
- № 6 — сечение шестиугольник \(L M Q R K P\): \(P\in A_1B_1,\ Q\in CD,\ R\in CC_1\).
- № 7 — сечение пятиугольник \(F P K L R\): \(P\in A_1D_1,\ R\in BC\).
Главный принцип: если плоскость пересекает две параллельные грани куба, то линии пересечения с этими гранями параллельны.
Задача 6
- Точки \(L\) и \(M\) обе лежат в передней грани, поэтому соединяем \(L\) и \(M\).
- Продлеваем прямую \(LM\) до пересечения с прямой \(A_1D_1\) в точке \(T\).
\(T\) может оказаться на продолжении ребра — это нормально. - Проводим прямую \(KT\). Она пересекает ребро \(A_1B_1\) в точке \(P\).
Соединяем \(P\) с \(L\) и \(P\) с \(K\). - Через \(K\) проводим прямую, параллельную \(LM\). Она пересекает \(CC_1\) в точке \(R\).
Соединяем \(K\) и \(R\). - Через \(M\) проводим прямую, параллельную \(KP\). Она пересекает \(CD\) в точке \(Q\).
Соединяем \(M\) с \(Q\), затем \(Q\) с \(R\).
Сечение:
\[
L-M-Q-R-K-P-L
\]
Проверка: \(LM\parallel KR\), \(KP\parallel MQ\), \(LP\parallel QR\) — как раз потому, что противоположные грани куба параллельны.
Задача 7
- Точки \(K\) и \(L\) лежат в правой грани, поэтому соединяем \(K\) и \(L\).
- Продлеваем прямую \(KL\) до пересечения с продолжением ребра \(DD_1\) в точке \(T\).
- В передней грани проводим прямую \(FT\). Она пересекает ребро \(A_1D_1\) в точке \(P\).
Соединяем \(F\) с \(P\) и \(P\) с \(K\). - Через \(L\) проводим прямую, параллельную \(FP\). Она пересекает ребро \(BC\) в точке \(R\).
Соединяем \(L\) и \(R\). - Соединяем \(R\) с \(F\).
Сечение:
\[
F-P-K-L-R-F
\]
Проверка: \(FP\parallel LR\) и \(PK\parallel FR\) — линии пересечения с параллельными гранями.
Обсуждение
2 сообщенияНарисуй к ним рисунок
Вот схематические рисунки. Масштаб условный; главное — на каких рёбрах лежат точки и в каком порядке их соединять.
Обозначение: \(ABCD\) — нижнее основание, \(A_1B_1C_1D_1\) — верхнее.
Задача 6 — сечение \(L-M-Q-R-K-P-L\)
D₁────────C₁
/│ /│
A₁─P───────B₁ │
│ \ │ R
L \ K │
│ \ │ │
│ \ │ │
D──Q───\───C │
/M \ │/
A───────────B
Точки на рёбрах:
- \(L\in AA_1\)
- \(M\in AD\)
- \(Q\in CD\)
- \(R\in CC_1\)
- \(K\in B_1C_1\)
- \(P\in A_1B_1\)
Соединять по порядку:
\[
L\to M\to Q\to R\to K\to P\to L.
\]
Задача 7 — сечение \(F-P-K-L-R-F\)
D₁──K─────C₁
/P│ /│
A₁ │──────B₁ │
│ │ │ L
│ │ │ │
│ │ │ │
│ D────────C │
F / R/
A────────────B
Точки на рёбрах:
- \(F\in AD\)
- \(P\in A_1D_1\)
- \(K\in C_1D_1\)
- \(L\in CC_1\)
- \(R\in BC\)
Соединять по порядку:
\[
F\to P\to K\to L\to R\to F.
\]
Если в учебнике куб повёрнут иначе, рисунок можно мысленно повернуть — важно сохранить те же рёбра и порядок обхода точек.
