Зделай 97
Кратко — ответы к № 97:
\[ \text{а) }-\frac{8}{2a+b};\qquad \text{б) }\frac{36}{(a^2-9)^2}; \] \[ \text{в) }\frac{2(x-2)}{x^2+2x+4};\qquad \text{г) }\frac{a^3+3a^2-2a+1}{a^3-1}. \]
В пункте г) первая дробь читается как
\(\dfrac{2a^2+7a+3}{2a^2-a-1}\).
Как это делается
Общий принцип: разложить знаменатели на множители → найти общий знаменатель → привести к нему все дроби → сложить или вычесть числители → сократить.
а)
\[ \frac{2a+b}{2a^2-ab}-\frac{16a}{4a^2-b^2}-\frac{2a-b}{2a^2+ab}. \]
Разложим знаменатели:
\[ 2a^2-ab=a(2a-b), \] \[ 4a^2-b^2=(2a-b)(2a+b), \] \[ 2a^2+ab=a(2a+b). \]
Общий знаменатель:
\[ a(2a-b)(2a+b). \]
Получаем:
\[ \frac{(2a+b)^2-16a^2-(2a-b)^2}{a(2a-b)(2a+b)}. \]
В числителе:
\[ (2a+b)^2-(2a-b)^2=8ab, \]
поэтому:
\[ \frac{8ab-16a^2}{a(2a-b)(2a+b)} = \frac{8(b-2a)}{(2a-b)(2a+b)}. \]
Так как \(b-2a=-(2a-b)\), сокращаем:
\[ -\frac{8}{2a+b}. \]
б)
\[ \frac1{(a-3)^2}-\frac{2}{a^2-9}+\frac1{(a+3)^2}. \]
Общий знаменатель:
\[ (a-3)^2(a+3)^2=(a^2-9)^2. \]
Числитель:
\[ (a+3)^2-2(a-3)(a+3)+(a-3)^2. \]
Это квадрат разности:
\[ \big((a+3)-(a-3)\big)^2=6^2=36. \]
Значит:
\[ \frac{36}{(a^2-9)^2}. \]
в)
\[ \frac{x-2}{x^2+2x+4}-\frac{6x}{x^3-8}+\frac1{x-2}. \]
Так как
\[ x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4), \]
общий знаменатель:
\[ (x-2)(x^2+2x+4). \]
Числитель:
\[ (x-2)^2-6x+(x^2+2x+4). \]
Раскрываем:
\[ x^2-4x+4-6x+x^2+2x+4 = 2x^2-8x+8 = 2(x-2)^2. \]
То есть:
\[ \frac{2(x-2)^2}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac{2(x-2)}{x^2+2x+4}. \]
г)
\[ \frac{2a^2+7a+3}{2a^2-a-1}-\frac{1-2a}{a^2+a+1}-\frac3{a-1}. \]
Сначала разложим числитель и знаменатель первой дроби:
\[ 2a^2+7a+3=(2a+1)(a+3), \] \[ 2a^2-a-1=(2a+1)(a-1). \]
Поэтому:
\[ \frac{2a^2+7a+3}{2a^2-a-1} = \frac{a+3}{a-1}. \]
Тогда:
\[ \frac{a+3}{a-1}-\frac3{a-1} = \frac{a}{a-1}. \]
Остаётся:
\[ \frac{a}{a-1}-\frac{1-2a}{a^2+a+1}. \]
Общий знаменатель:
\[ (a-1)(a^2+a+1)=a^3-1. \]
Числитель:
\[ a(a^2+a+1)-(1-2a)(a-1). \]
Раскрываем:
\[ a^3+a^2+a-(-2a^2+3a-1) = a^3+3a^2-2a+1. \]
Ответ:
\[ \frac{a^3+3a^2-2a+1}{a^3-1}. \]
Во всех пунктах подразумеваются значения переменных, при которых исходные знаменатели не равны нулю.
