Реши задание на изображении

Кратко:

\[ z=\frac{3\sqrt2}{2}+\frac{3\sqrt2}{2}i \]

\[ z=3e^{i\pi/4} \]

Геометрически \(z\) — это точка
\[ M\left(\frac{3\sqrt2}{2};\frac{3\sqrt2}{2}\right) \] или вектор из начала координат в эту точку.

---

Как это получается

Дано:

\[ z=3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right) \]

Это тригонометрическая форма:

\[ z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi), \]

где

\[ r=3,\qquad \varphi=\frac{\pi}{4}. \]

1. Алгебраическая форма

\[ z=a+bi, \] где

\[ a=r\cos\varphi,\qquad b=r\sin\varphi. \]

Так как

\[ \cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}, \]

то

\[ a=3\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{3\sqrt2}{2}, \]

\[ b=3\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{3\sqrt2}{2}. \]

Значит,

\[ \boxed{z=\frac{3\sqrt2}{2}+\frac{3\sqrt2}{2}i} \]

2. Геометрическая форма

Комплексному числу \(a+bi\) соответствует точка \((a;b)\):

\[ \boxed{M\left(\frac{3\sqrt2}{2};\frac{3\sqrt2}{2}\right)} \]

Она лежит в первой четверти. Расстояние от начала координат до неё равно \(3\), а угол с положительным направлением оси \(Ox\) равен \(\frac{\pi}{4}\).

3. Показательная форма

\[ z=re^{i\varphi}. \]

Подставляем \(r=3\), \(\varphi=\frac{\pi}{4}\):

\[ \boxed{z=3e^{i\pi/4}} \]

---

Проверка

Модуль:

\[ |z|=\sqrt{\left(\frac{3\sqrt2}{2}\right)^2+\left(\frac{3\sqrt2}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac{9}{2}+\frac{9}{2}}=3. \]

Аргумент:

\[ \operatorname{tg}\varphi=\frac{b}{a}=1, \]

поэтому \(\varphi=\frac{\pi}{4}\). Всё сходится.

Принцип: сначала находим \(a\) и \(b\) через косинус и синус, затем записываем точку на плоскости, а показательная форма — это просто сокращённая запись \(r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\) в виде \(re^{i\varphi}\).