Зделай 98
Краткий ответ
\[ \begin{aligned} \text{а) }&\frac{2}{a-4b}, &&a\ne \pm 4b;\\[2pt] \text{б) }&\frac{1}{b}, &&b\ne 0,\ a\ne \pm b;\\[2pt] \text{в) }&\frac{2(x-2)}{x^2+2x+4}, &&x\ne 2;\\[2pt] \text{г) }&\frac{1}{a-1}, &&a\ne 1. \end{aligned} \]
Ограничения берутся из исходных знаменателей — даже если после сокращения они «исчезли» из ответа.
Общий принцип
Действуем одинаково:
- Раскладываем знаменатели на множители.
- Приводим дроби к общему знаменателю.
- Складываем или вычитаем числители.
- Сокращаем дробь.
- Проверяем знаки: часто помогает формула
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \] и кубы: \[ x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4), \] \[ a^3-1=(a-1)(a^2+a+1). \]
Очень важная ошибка, которую надо не допустить: нельзя сокращать отдельные слагаемые, пока не приведено всё выражение к общему знаменателю.
а)
\[ \frac1{a-4b}-\frac1{a+4b}-\frac{2a}{16b^2-a^2}. \]
Так как
\[ 16b^2-a^2=-(a-4b)(a+4b), \]
то последняя дробь при вычитании меняет знак:
\[ -\frac{2a}{16b^2-a^2} = +\frac{2a}{(a-4b)(a+4b)}. \]
Приводим к общему знаменателю:
\[ \frac{(a+4b)-(a-4b)+2a}{(a-4b)(a+4b)}. \]
Упрощаем числитель:
\[ a+4b-a+4b+2a=2a+8b=2(a+4b). \]
Значит,
\[ \frac{2(a+4b)}{(a-4b)(a+4b)} = \frac{2}{a-4b}. \]
Ответ: \(\dfrac{2}{a-4b}\).
б)
\[ \frac1{2b-2a}+\frac1{2b+2a}+\frac{a^2}{a^2b-b^3}. \]
Разложим:
\[ 2b-2a=-2(a-b), \]
\[ 2b+2a=2(a+b), \]
\[ a^2b-b^3=b(a^2-b^2)=b(a-b)(a+b). \]
Первые две дроби дают:
\[ -\frac1{2(a-b)}+\frac1{2(a+b)} = -\frac{b}{(a-b)(a+b)}. \]
Теперь добавляем третью дробь:
\[ -\frac{b}{(a-b)(a+b)} + \frac{a^2}{b(a-b)(a+b)}. \]
Общий знаменатель уже равен \(b(a-b)(a+b)\). Получаем:
\[ \frac{-b^2+a^2}{b(a-b)(a+b)} = \frac{(a-b)(a+b)}{b(a-b)(a+b)} = \frac1b. \]
Ответ: \(\dfrac1b\).
в)
\[ \frac{x-2}{x^2+2x+4}-\frac{6x}{x^3-8}+\frac1{x-2}. \]
Пусть
\[ D=x^2+2x+4. \]
Тогда
\[ x^3-8=(x-2)D. \]
Приводим к общему знаменателю \((x-2)D\):
\[ \frac{(x-2)^2-6x+D}{(x-2)D}. \]
Считаем числитель:
\[ (x-2)^2-6x+(x^2+2x+4) = (x^2-4x+4)-6x+x^2+2x+4 = 2x^2-8x+8. \]
Сворачиваем:
\[ 2x^2-8x+8=2(x-2)^2. \]
Тогда
\[ \frac{2(x-2)^2}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac{2(x-2)}{x^2+2x+4}. \]
Ответ: \(\dfrac{2(x-2)}{x^2+2x+4}\).
г)
\[ \frac{2a^2+7a+3}{a^3-1} - \frac{1-2a}{a^2+a+1} - \frac3{a-1}. \]
Пусть
\[ D=a^2+a+1. \]
Тогда
\[ a^3-1=(a-1)D. \]
Общий знаменатель: \((a-1)D\).
Числитель:
\[ (2a^2+7a+3)-(1-2a)(a-1)-3D. \]
Сначала:
\[ (1-2a)(a-1)=-2a^2+3a-1. \]
Поэтому
\[ -(1-2a)(a-1)=2a^2-3a+1. \]
Тогда весь числитель:
\[ 2a^2+7a+3+2a^2-3a+1-3(a^2+a+1). \]
Раскрываем:
\[ 2a^2+7a+3+2a^2-3a+1-3a^2-3a-3 = a^2+a+1. \]
То есть числитель равен \(D\). Поэтому:
\[ \frac{D}{(a-1)D}=\frac{1}{a-1}. \]
Ответ: \(\dfrac1{a-1}\).
Быстрая проверка
Можно подставить удобные допустимые значения:
- а) \(a=5,\ b=1\): исходное выражение и ответ дают \(2\);
- б) \(a=3,\ b=2\): обе части дают \(\frac12\);
- в) \(x=3\): обе части дают \(\frac{2}{19}\);
- г) \(a=2\): обе части дают \(1\).
Такая проверка не заменяет преобразования, но хорошо показывает, нет ли ошибки в знаке.
