упрости. выражение 98 номер

Кратко:

\[ \text{а) }\frac{2}{a-4b};\quad \text{б) }\frac1b;\quad \text{в) }\frac{2(x-2)}{x^2+2x+4};\quad \text{г) }\frac1{a-1}. \]

Общий приём: разложить знаменатели на множители, привести дроби к общему знаменателю, затем упростить числитель и сократить.

98, а)

\[ \frac1{a-4b}-\frac1{a+4b}-\frac{2a}{16b^2-a^2} \]

Так как

\[ 16b^2-a^2=-(a-4b)(a+4b), \]

получаем:

\[ \frac{(a+4b)-(a-4b)+2a}{(a-4b)(a+4b)} =\frac{2a+8b}{(a-4b)(a+4b)} =\frac{2(a+4b)}{(a-4b)(a+4b)} =\frac2{a-4b}. \]

Ответ: \(\displaystyle \frac2{a-4b}\), при \(a\ne \pm 4b\).

---

98, б)

\[ \frac1{2b-2a}+\frac1{2b+2a}+\frac{a^2}{a^2b-b^3} \]

Сначала:

\[ \frac1{2(b-a)}+\frac1{2(b+a)} =\frac{b}{b^2-a^2} =-\frac{b}{a^2-b^2}. \]

Третья дробь:

\[ \frac{a^2}{b(a^2-b^2)}. \]

Складываем:

\[ -\frac{b}{a^2-b^2}+\frac{a^2}{b(a^2-b^2)} =\frac{a^2-b^2}{b(a^2-b^2)} =\frac1b. \]

Ответ: \(\displaystyle \frac1b\), при \(a\ne \pm b,\ b\ne0\).

---

98, в)

\[ \frac{x-2}{x^2+2x+4}-\frac{6x}{x^3-8}+\frac1{x-2} \]

Так как

\[ x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4), \]

общий знаменатель равен \((x-2)(x^2+2x+4)\). Тогда:

\[ \frac{(x-2)^2-6x+(x^2+2x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)} \]

Упрощаем числитель:

\[ x^2-4x+4-6x+x^2+2x+4 =2x^2-8x+8 =2(x-2)^2. \]

Значит:

\[ \frac{2(x-2)^2}{(x-2)(x^2+2x+4)} =\frac{2(x-2)}{x^2+2x+4}. \]

Ответ: \(\displaystyle \frac{2(x-2)}{x^2+2x+4}\), при \(x\ne2\).

---

98, г)

\[ \frac{2a^2+7a+3}{a^3-1} -\frac{1-2a}{a^2+a+1} -\frac3{a-1} \]

Так как

\[ a^3-1=(a-1)(a^2+a+1), \]

приводим к общему знаменателю:

\[ \frac{2a^2+7a+3-(1-2a)(a-1)-3(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}. \]

Раскрываем числитель:

\[ 2a^2+7a+3-( -2a^2+3a-1)-3a^2-3a-3 =a^2+a+1. \]

Поэтому:

\[ \frac{a^2+a+1}{(a-1)(a^2+a+1)} =\frac1{a-1}. \]

Ответ: \(\displaystyle \frac1{a-1}\), при \(a\ne1\).

Проверка для г) при \(a=2\): исходное выражение даёт \(1\), и \(\frac1{a-1}=1\). Значит, упрощение верное.