Реши задание на изображении

Ниже — ответы для всех пунктов, которые полностью видны на фото.

1. Разложить на множители

\[ 3+\sqrt3=\sqrt3(\sqrt3+1) \]

\[ 10-2\sqrt{10}=\sqrt{10}(\sqrt{10}-2) \]

\[ \sqrt x+x=\sqrt x(1+\sqrt x),\qquad x\ge0 \]

\[ a-5\sqrt a=\sqrt a(\sqrt a-5),\qquad a\ge0 \]

\[ \sqrt a-\sqrt{2a}=\sqrt a(1-\sqrt2),\qquad a\ge0 \]

\[ \sqrt{3m}+\sqrt{5m}=\sqrt m(\sqrt3+\sqrt5),\qquad m\ge0 \]

\[ \sqrt{14}-\sqrt7=\sqrt7(\sqrt2-1) \]

\[ \sqrt{33}+\sqrt{22}=\sqrt{11}(\sqrt3+\sqrt2) \]

2. Сократить дробь — первый блок

\[ \frac{b^2-5}{b-\sqrt5}=b+\sqrt5,\qquad b\ne\sqrt5 \]

\[ \frac{m+\sqrt6}{6-m^2}=\frac1{\sqrt6-m},\qquad m\ne\pm\sqrt6 \]

\[ \frac{2-\sqrt x}{x-4}=-\frac1{\sqrt x+2},\qquad x\ge0,\ x\ne4 \]

\[ \frac{b-9}{\sqrt b+3}=\sqrt b-3,\qquad b\ge0 \]

\[ \frac{a-b}{\sqrt b+\sqrt a}=\sqrt a-\sqrt b,\qquad a,b\ge0,\ a+b>0 \]

\[ \frac{2\sqrt x-3\sqrt y}{4x-9y}= \frac1{2\sqrt x+3\sqrt y},\qquad x,y\ge0,\ 4x\ne9y \]

3. Сократить дробь — второй блок

\[ \frac{x^2-2}{x+\sqrt2}=x-\sqrt2,\qquad x\ne-\sqrt2 \]

\[ \frac{\sqrt5-a}{5-a^2}=\frac1{\sqrt5+a},\qquad a\ne\pm\sqrt5 \]

\[ \frac{\sqrt x-5}{25-x}=-\frac1{5+\sqrt x},\qquad x\ge0,\ x\ne25 \]

\[ \frac{\sqrt2+2}{\sqrt2}=1+\sqrt2 \]

\[ \frac{5+\sqrt{10}}{\sqrt{10}}= 1+\frac{\sqrt{10}}2= \frac{2+\sqrt{10}}2 \]

\[ \frac{2\sqrt3-3}{5\sqrt3}= \frac{2-\sqrt3}{5} \]

4. Убрать иррациональность из знаменателя

Видны пункты а), б), г), ж), з).

\[ \frac{x}{\sqrt5}=\frac{x\sqrt5}{5} \]

\[ \frac3{\sqrt b}=\frac{3\sqrt b}{b},\qquad b>0 \]

\[ \frac{a}{b\sqrt b}=\frac{a\sqrt b}{b^2},\qquad b>0 \]

\[ \frac5{2\sqrt3}=\frac{5\sqrt3}{6} \]

\[ \frac8{3\sqrt2}=\frac{4\sqrt2}{3} \]

---

Как это устроено

Главный приём — разложить числитель и знаменатель на множители, а потом сокращать только множители.

Например:

\[ b^2-5=(b-\sqrt5)(b+\sqrt5), \]

поэтому

\[ \frac{b^2-5}{b-\sqrt5} = \frac{(b-\sqrt5)(b+\sqrt5)}{b-\sqrt5} = b+\sqrt5. \]

Похожий приём с корнями:

\[ a-b=(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2= (\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b). \]

Если в числителе стоит \(2-\sqrt x\), а в знаменателе \(x-4\), то

\[ x-4=(\sqrt x-2)(\sqrt x+2), \]

а

\[ 2-\sqrt x=-(\sqrt x-2). \]

Отсюда и появляется минус в ответе.

Для избавления от корня в знаменателе умножают числитель и знаменатель на этот корень:

\[ \frac{a}{b\sqrt b}\cdot\frac{\sqrt b}{\sqrt b} = \frac{a\sqrt b}{b^2}. \]

Проверка

Например:

\[ \sqrt{10}(\sqrt{10}-2)=10-2\sqrt{10}. \]

Проверим знак в дроби с \(2-\sqrt x\) при \(x=9\):

\[ \frac{2-3}{9-4}=-\frac15, \qquad -\frac1{3+2}=-\frac15. \]

Всё сходится.

Нижняя часть фото обрезана: пункты в), д), е) последнего задания полностью не видны.