Реши задание на изображении
Кратко:
\[
y'=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1).
\]
Критические точки: \(x=-1\) и \(x=3\).
В точке \(x=-1\) — локальный максимум, \(y=15\);
в точке \(x=3\) — локальный минимум, \(y=-17\).
На фото видна только функция \(y=x^3-3x^2-9x+10\), а самой формулировки задания нет. Ниже — стандартное исследование; если нужно было только найти производную, она уже записана выше.
Как решаем
Находим производную: \[ y'=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1). \]
Приравниваем производную к нулю: \[ 3(x-3)(x+1)=0 \Rightarrow x=-1 \text{ или } x=3. \]
Определяем знаки производной:
- при \(x<-1\): \(y'>0\) — функция возрастает;
- при \(-1<x<3\): \(y'<0\) — функция убывает;
- при \(x>3\): \(y'>0\) — функция возрастает.
Значит: \[ \text{возрастает на }(-\infty;-1)\text{ и }(3;+\infty), \] \[ \text{убывает на }(-1;3). \]
- Считаем значения функции в точках экстремума: \[ y(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)+10=15, \] \[ y(3)=3^3-3\cdot3^2-9\cdot3+10=-17. \]
Ответ: точки экстремума \(x=-1\) и \(x=3\);
максимум \(y(-1)=15\), минимум \(y(3)=-17\).
Не путай: точки экстремума — это \(x=-1,3\), а значения функции в них — \(15\) и \(-17\). Если в задании был отрезок для наибольшего/наименьшего значения, нужен сам отрезок.
