Реши
Кратко:
- \(1{,}3\);
- \(63\);
- \(\frac{1025}{64}=16\frac1{64}\);
- \(-2\);
- \(-76\).
- \(\frac1a\) — при \(a>0\); если разрешены отрицательные \(a\), точное значение \(\frac1{|a|}\);
- \(a^{13/8}=a\sqrt[8]{a^5}\).
\(324\).
\(x=2\).
1. Вычисления
1)
\[
-4\frac{12}{125}=-\frac{512}{125}=\left(-\frac85\right)^3,
\]
поэтому
\[
\sqrt{0{,}81}+\sqrt[3]{-4\frac{12}{125}}+\sqrt[4]{16}
=0{,}9-\frac85+2
=0{,}9-1{,}6+2=1{,}3.
\]
2)
\[
\sqrt[4]{3^5\cdot 7^3}\cdot\sqrt[4]{3^3\cdot 7}
=\sqrt[4]{3^8\cdot 7^4}
=3^2\cdot 7=63.
\]
3)
\[
4^{-3}=\frac1{64},\qquad
64^{2/3}=(4^3)^{2/3}=4^2=16.
\]
Значит,
\[
\frac1{64}+16=\frac{1025}{64}=16\frac1{64}.
\]
4)
\[
27^{1/3}=3,\qquad 25^{1/2}=5,
\]
поэтому
\[
3-5=-2.
\]
5)
\[
\left(\frac15\right)^{-1}=5,
\]
а
\[
\frac{(9^{-3})^2}{9^{-8}}
=\frac{9^{-6}}{9^{-8}}
=9^{-6+8}=9^2=81.
\]
Тогда
\[
5-81=-76.
\]
2. Упрощение выражений
1)
\[
\sqrt[5]{a^4}=a^{4/5},
\]
тогда
\[
\left(a^{4/5}\right)^{-1{,}25}
=\left(a^{4/5}\right)^{-5/4}
=a^{(4/5)\cdot(-5/4)}
=a^{-1}
=\frac1a.
\]
Здесь в школьных заданиях обычно считают \(a>0\). Если \(a<0\), то сам корень равен \(|a|^{4/5}\), поэтому точное значение будет \(\frac1{|a|}\).
2)
\[
\sqrt[8]{a^3}=a^{3/8},
\]
поэтому
\[
a^{5/4}\cdot a^{3/8}
=a^{10/8+3/8}
=a^{13/8}.
\]
3. Значение выражения
\[ \frac{a^{4{,}49}\cdot a^{2{,}03}}{a^{4{,}52}} =a^{4{,}49+2{,}03-4{,}52} =a^2. \] При \(a=18\): \[ 18^2=324. \]
4. Уравнение
\[ \sqrt{x-1}-2\sqrt[4]{x-1}=-1. \]
Пусть \[ t=\sqrt[4]{x-1}\ge0. \] Тогда \[ \sqrt{x-1}=t^2. \] Получаем: \[ t^2-2t=-1, \] \[ t^2-2t+1=0, \] \[ (t-1)^2=0, \] \[ t=1. \] Значит, \[ \sqrt[4]{x-1}=1, \] \[ x-1=1, \] \[ x=2. \]
Проверка: при \(x=2\) \[ \sqrt1-2\sqrt[4]1=1-2=-1. \] Верно.
Ответ: \(x=2\).
