задания на логарифмы
Кратко: конкретного примера в задании нет — прислать нужно само уравнение или фото. А пока — принцип, по которому решается почти любое задание с логарифмами.
1. Определение (главный инструмент)
\[\log_a b = c \iff a^c = b\]при условиях \(a>0,\ a\neq 1,\ b>0\). То есть логарифм — это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число под логарифмом: \(\log_2 8 = 3\), потому что \(2^3=8\).
2. Свойства, которые чаще всего нужны
- \(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\)
- \(\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y\)
- \(\log_a x^k = k\log_a x\)
- \(\log_a a = 1\), \(\log_a 1 = 0\), \(a^{\log_a x}=x\)
3. Как решать уравнение Шаги: (1) ОДЗ — аргументы строго больше нуля; (2) свести обе части к логарифмам с одинаковым основанием; (3) «отбросить» логарифмы: \(\log_a f(x)=\log_a g(x)\Rightarrow f(x)=g(x)\); (4) проверить корни по ОДЗ.
4. Проверка результата Подставь найденный \(x\) обратно и посчитай обе части — они должны совпасть. Корень, при котором аргумент \(\le 0\), отбрасывается.
Пришли свой пример (или фото задания) — разберём его по этим шагам.
Обсуждение
2 сообщенияСоздай задания на логарифмы, а в конце покажи как решил и ответ
Ниже 9 заданий — от «разминки» до уравнений и неравенства. Сначала попробуй сам, решения с ответами — в конце.
Задания
Блок 1. Вычислить (определение и свойства)
- \(\log_3 81 + \log_2 \dfrac{1}{8}\)
- \(\lg 25 + \lg 4\)
- \(5^{\log_5 9} + \log_2 16 - \lg 100\)
- \(9^{\log_3 4}\)
Блок 2. Преобразование выражения
- Известно, что \(\log_2 5 = a\). Вырази через \(a\): а) \(\log_2 40\); б) \(\log_2 0{,}4\).
Блок 3. Уравнения
- \(\log_3 (x+2) + \log_3 x = 1\)
- \(\log_2^2 x - 3\log_2 x + 2 = 0\)
- \(\log_2 x + \log_4 x = 3\)
Блок 4. Неравенство
- \(\log_{0{,}5}(x-1) > -1\)
Решения
1. По определению: \(3^4 = 81 \Rightarrow \log_3 81 = 4\); \(\;2^{-3} = \frac18 \Rightarrow \log_2\frac18 = -3\).
\[\log_3 81 + \log_2\frac18 = 4 + (-3) = 1\]Ответ: 1.
2. Сумма логарифмов с одинаковым основанием — логарифм произведения:
\[\lg 25 + \lg 4 = \lg(25\cdot 4) = \lg 100 = 2\]Ответ: 2.
3. Основное тождество \(a^{\log_a x} = x\) даёт \(5^{\log_5 9} = 9\); далее \(\log_2 16 = 4\), \(\lg 100 = 2\):
\[9 + 4 - 2 = 11\]Ответ: 11.
4. Представим \(9 = 3^2\) и внесём показатель:
\[9^{\log_3 4} = \left(3^2\right)^{\log_3 4} = 3^{2\log_3 4} = \left(3^{\log_3 4}\right)^2 = 4^2 = 16\]Ответ: 16.
5. а) \(40 = 8\cdot 5\):
\[\log_2 40 = \log_2 8 + \log_2 5 = 3 + a\]б) \(0{,}4 = \dfrac{2}{5}\):
\[\log_2 0{,}4 = \log_2 2 - \log_2 5 = 1 - a\]Ответ: а) \(3+a\); б) \(1-a\).
6. ОДЗ: \(x > 0\) и \(x + 2 > 0\), то есть \(x > 0\). Сворачиваем сумму:
\[\log_3\big(x(x+2)\big) = 1 \;\Rightarrow\; x^2 + 2x = 3^1 = 3\] \[x^2 + 2x - 3 = 0 \;\Rightarrow\; (x+3)(x-1) = 0 \;\Rightarrow\; x = -3 \text{ или } x = 1\]Корень \(x = -3\) не проходит по ОДЗ. Проверка для \(x = 1\): \(\log_3 3 + \log_3 1 = 1 + 0 = 1\) ✓ Ответ: \(x = 1\).
7. ОДЗ: \(x > 0\). Замена \(t = \log_2 x\):
\[t^2 - 3t + 2 = 0 \;\Rightarrow\; t_1 = 1,\; t_2 = 2\]Обратная замена: \(\log_2 x = 1 \Rightarrow x = 2\); \(\;\log_2 x = 2 \Rightarrow x = 4\). Оба корня положительны. Проверка \(x=4\): \(2^2 - 3\cdot 2 + 2 = 0\) ✓ Ответ: \(x = 2\); \(x = 4\).
8. ОДЗ: \(x > 0\). Приведём к основанию 2: \(\log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{\log_2 4} = \dfrac{1}{2}\log_2 x\).
\[\log_2 x + \frac{1}{2}\log_2 x = 3 \;\Rightarrow\; \frac{3}{2}\log_2 x = 3 \;\Rightarrow\; \log_2 x = 2 \;\Rightarrow\; x = 4\]Проверка: \(2 + 1 = 3\) ✓ Ответ: \(x = 4\).
9. ОДЗ: \(x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1\). Запишем правую часть как логарифм по тому же основанию: \(-1 = \log_{0{,}5} 2\), так как \(0{,}5^{-1} = 2\).
\[\log_{0{,}5}(x-1) > \log_{0{,}5} 2\]Основание \(0{,}5 < 1\), поэтому функция убывает и знак неравенства меняется:
\[x - 1 < 2 \;\Rightarrow\; x < 3\]С учётом ОДЗ: \(1 < x < 3\). Ответ: \(x \in (1;\,3)\).
Сводка ответов
| № | Ответ |
|---|---|
| 1 | \(1\) |
| 2 | \(2\) |
| 3 | \(11\) |
| 4 | \(16\) |
| 5 | а) \(3+a\); б) \(1-a\) |
| 6 | \(x = 1\) |
| 7 | \(x = 2\); \(x = 4\) |
| 8 | \(x = 4\) |
| 9 | \(x \in (1;3)\) |
Скажи, на каком номере «не сошлось» — разберём этот шаг подробнее, или соберу похожие задания для тренировки.
