На фото два варианта. Решаю оба: слева — 1-й, справа — 2-й.

Главный принцип: корень и дробная степень — это одно и то же: \[ \sqrt[n]{a^m}=a^{m/n},\qquad (a^r)^s=a^{rs},\qquad a^r a^s=a^{r+s}. \]

Теория T31–T32

Арифметический корень \(n\)-й степени из \(a\ge 0\) — это такое число \(b\ge 0\), что \(b^n=a\).

Свойства корней: \[ \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]a\sqrt[n]b,\quad \sqrt[n]{\frac ab}=\frac{\sqrt[n]a}{\sqrt[n]b}, \] \[ (\sqrt[n]a)^m=\sqrt[n]{a^m},\quad \sqrt[n]{\sqrt[m]a}=\sqrt[nm]a. \]

Степень с рациональным показателем: \[ a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\quad (a>0,\ m\in\mathbb Z,\ n\in\mathbb N). \]

Свойства степеней: \[ a^r a^s=a^{r+s},\quad \frac{a^r}{a^s}=a^{r-s},\quad (a^r)^s=a^{rs},\quad (ab)^r=a^r b^r. \]

---

1 вариант

1. Вычислите

А) \[ \sqrt[4]{0{,}0016\cdot0{,}0081}-\sqrt{169} =0{,}06-13=-12{,}94. \]

Б) \[ \frac{\sqrt[3]{27}\cdot\sqrt{196}}{\sqrt[3]{216}} =\frac{3\cdot14}{6}=7. \]

В) \[ \sqrt{3\cdot25}\cdot\sqrt{9\cdot5} =\sqrt{3375}=15\sqrt{15}. \]

2. Найдите значение выражения

А) \(3\cdot27^{1/3}=3\cdot3=9\).

Б) \[ \left(\frac{36}{25}\right)^{1/2}=\frac65=1{,}2. \]

В) \[ \left(0{,}216^{8/27}\right)^{9/4} =0{,}216^{2/3} =(0{,}6^3)^{2/3}=0{,}36. \]

3. Упростите

\[ \frac{\sqrt[7]{x^{20}}}{\sqrt[7]{x^6}} =x^{(20-6)/7}=x^2. \]

4. Вычислите

А) \[ 5^{3-\sqrt8}\cdot5^{3+\sqrt8}=5^6=15625. \]

Б) \[ (6^{\sqrt2})^{\sqrt8}=6^{\sqrt{16}}=6^4=1296. \]

5. Вычислите

\[ 16^{5/4}-(0{,}01)^{1/2}+12\cdot(7^0)^3-16\cdot2^{-5}\cdot64^{2/3} \] \[ =32-0{,}1+12-8=35{,}9. \]

6. Круги Эйлера

Формула включений-исключений: \[ |A\cup F\cup G|=|A|+|F|+|G|-|A\cap F|-|F\cap G|-|A\cap G|+|A\cap F\cap G|. \] По пометке на фото \(A\cap G=3\). Тогда: \[ 15+10+6-5-3-3+2=22. \] Знают хотя бы один язык 22 человека, значит не знают ни одного: \[ 30-22=8. \]

Ответ: 8 человек.

Если в печатном условии нет числа 3 для «английский и немецкий», то задача не имеет единственного ответа — не хватает одного данного.

---

2 вариант

1. Вычислите

А) \[ \sqrt[3]{0{,}125\cdot0{,}064}-\sqrt{361} =0{,}2-19=-18{,}8. \]

Б) \[ \frac{\sqrt[3]{125}\cdot\sqrt{144}}{\sqrt[3]{216}} =\frac{5\cdot12}{6}=10. \]

В) \[ \sqrt[3]{64}\cdot\sqrt[3]{27\cdot4} =4\cdot3\sqrt[3]4=12\sqrt[3]4. \]

2. Найдите значение выражения

А) \(4\cdot16^{1/4}=4\cdot2=8\).

Б) \[ \left(\frac{49}{64}\right)^{1/2}=\frac78. \]

В) \[ \left(144^{4/3}\right)^{3/8}=144^{1/2}=12. \]

3. Упростите

По фото второй корень читается как корень 9-й степени: \[ \sqrt[3]{x^{11}}\cdot\sqrt[9]{x^7} =x^{11/3+7/9} =x^{(33+7)/9}=x^{40/9}. \]

Если там всё-таки корень 3-й степени, то получается \(x^6\).

4. Вычислите

А) \[ 3^{\sqrt2-2}\cdot3^{\sqrt2+2} =3^{2\sqrt2}. \]

Б) \[ (2^{\sqrt3})^{\sqrt{12}} =2^{\sqrt{36}}=2^6=64. \]

5. Вычислите

\[ 625^{3/2}\cdot5^{-3}\cdot25+7\cdot(4^0)^4-25^{3/2}+\left(\frac18\right)^{-1/3} \] \[ =3125+7-125+2=3009. \]

6. Круги Эйлера

Пусть все три задачи решили \(x\) человек. Тогда по формуле включений-исключений: \[ 800+700+600-600-500-400+x=600+x \] — столько решили хотя бы одну задачу.

Если все 1000 абитуриентов решили хотя бы одну задачу, то: \[ 600+x=1000 \Rightarrow x=400. \]

Ответ: 400 абитуриентов.

Если не считать, что каждый абитуриент решил хотя бы одну задачу, данных для однозначного ответа недостаточно.