Реши задание на изображении

Кратко

1. \(y=|x^2-2x-3|\) — «W-образный» график: части параболы вне интервала \((-1;3)\) остаются, а «отрицательная» средняя часть отражается вверх. Ключевые точки: \((-1;0)\), \((1;4)\), \((3;0)\).
2. \(y=-2|x|+4\) — перевёрнутый угол с вершиной \((0;4)\), ветви уходят вниз; нули при \(x=\pm2\).
3. \(y=\dfrac{2}{|x|}-1\) — две симметричные ветви;
   \[ D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty). \] Асимптоты: вертикальная \(x=0\) и горизонтальная \(y=-1\).

---

Задание 1. \(y=|x^2-2x-3|\)

Сначала рассматриваем функцию без модуля: \[ y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4=(x+1)(x-3). \] Это парабола ветвями вверх с вершиной \((1;-4)\) и нулями \(x=-1,\ x=3\).

Модуль отражает относительно оси \(Ox\) ту часть графика, где \(x^2-2x-3<0\), то есть при \(-1<x<3\).

Поэтому:

\[ y= \begin{cases} x^2-2x-3, & x\le -1 \text{ или } x\ge 3,\\ -x^2+2x+3, & -1\le x\le 3. \end{cases} \]

На средней части получается арка с вершиной: \[ (1;4). \]

Удобные точки для построения:

\[ \begin{array}{c|rrrrrrr} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline y & 5 & 0 & 3 & 4 & 3 & 0 & 5 \end{array} \]

График касается оси \(Ox\) в точках \((-1;0)\) и \((3;0)\), но в этих точках образуются «изломы», потому что модуль отражает часть параболы.

Ответ: график — две крайние ветви обычной параболы и отражённая вверх средняя часть.

---

Задание 2. \(y=-2|x|+4\)

Можно записать без модуля:

\[ y= \begin{cases} -2x+4, & x\ge 0,\\ 2x+4, & x<0. \end{cases} \]

Строим так:

1. Берём график \(y=|x|\) — угол с вершиной в начале координат.
2. Растягиваем его по вертикали в \(2\) раза и отражаем вниз: получаем \(y=-2|x|\).
3. Поднимаем на \(4\) единицы вверх: \(y=-2|x|+4\).

Вершина: \[ (0;4). \]

Нули: \[ -2|x|+4=0 \quad\Rightarrow\quad |x|=2 \quad\Rightarrow\quad x=\pm2. \]

Точки для построения:

\[ \begin{array}{c|rrrrrrr} x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline y & -2 & 0 & 2 & 4 & 2 & 0 & -2 \end{array} \]

Ответ: перевёрнутый угол с вершиной \((0;4)\), проходящий через \((-2;0)\) и \((2;0)\). Ветви направлены вниз.

---

Задание 3. \(y=\dfrac{2}{|x|}-1\)

Область определения

На ноль делить нельзя, поэтому: \[ x\ne0. \]

Значит, \[ D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty). \]

Функция чётная: \[ f(-x)=\frac{2}{|-x|}-1=\frac{2}{|x|}-1=f(x), \] поэтому график симметричен относительно оси \(Oy\).

Асимптоты

При \(x\to 0\): \[ \frac{2}{|x|}\to+\infty, \] поэтому \(y\to+\infty\). Прямая \[ x=0 \] является вертикальной асимптотой.

При \(x\to\pm\infty\): \[ \frac{2}{|x|}\to0, \] поэтому \[ y\to-1. \] Прямая \[ y=-1 \] является горизонтальной асимптотой.

График расположен выше прямой \(y=-1\), потому что \[ \frac{2}{|x|}>0. \]

Точки для построения

\[ \begin{array}{c|rrrrrr} x & -4 & -2 & -1 & 1 & 2 & 4\\ \hline y & -\frac12 & 0 & 1 & 1 & 0 & -\frac12 \end{array} \]

Строим две ветви:

• при \(x>0\) — правую ветвь;
• при \(x<0\) — её симметричное отражение.

Пунктиром проводим асимптоты \(x=0\) и \(y=-1\).

Ответ:
\[ D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty), \] вертикальная асимптота \(x=0\), горизонтальная асимптота \(y=-1\).

---

Проверка

• В задании 1: \(y(0)=3\), \(y(1)=4\), \(y(2)=3\) — средняя часть поднята вверх.
• В задании 2: \(y(0)=4\), \(y(2)=0\), \(y(-2)=0\) — вершина и нули совпадают с построением.
• В задании 3: \(y(\pm1)=1\), \(y(\pm2)=0\); при \(x\to0\) график уходит вверх, при \(x\to\pm\infty\) приближается к \(y=-1\).