реши

Краткий ответ

1. Прямые \(a\), \(b\) и точка \(Y\) лежат в одной плоскости — той, которая проходит через пересекающиеся прямые \(a\) и \(b\).
2. \(AB\) — действительно линия пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\), потому что точки \(A\) и \(B\) лежат в обеих плоскостях.

1. Доказательство

Прямые \(a\) и \(b\) пересекаются в точке \(O\). Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Обозначим её \(\gamma\). Значит,

\[ a\subset \gamma,\qquad b\subset \gamma. \]

Точка \(A\in a\), поэтому \(A\in \gamma\). Аналогично \(B\in b\), значит \(B\in \gamma\).

Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости. Следовательно,

\[ AB\subset \gamma. \]

Но \(Y\in AB\), поэтому \(Y\in \gamma\).

Значит, прямые \(a\), \(b\) и точка \(Y\) лежат в одной плоскости \(\gamma\).

2. Доказательство

Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются, поэтому у них есть общая прямая — линия пересечения. Обозначим её

\[ l=\alpha\cap\beta. \]

По условию:

• \(a\subset \alpha\), и \(a\) пересекает \(\beta\) в точке \(A\). Значит, \(A\in\alpha\) и \(A\in\beta\), то есть

\[ A\in \alpha\cap\beta=l. \]

• \(b\subset \beta\), и \(b\) пересекает \(\alpha\) в точке \(B\). Значит, \(B\in\beta\) и \(B\in\alpha\), то есть

\[ B\in \alpha\cap\beta=l. \]

Итак, обе точки \(A\) и \(B\) лежат на прямой \(l\). Через две различные точки проходит единственная прямая, поэтому прямая \(AB\) совпадает с \(l\).

Следовательно, \(AB\) — линия пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\).

Что важно запомнить

• Пересекающиеся прямые задают плоскость.
• Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит ей.
• Чтобы доказать, что прямая является линией пересечения двух плоскостей, достаточно найти две общие точки этих плоскостей.