Реши задание на изображении
Краткий ответ:
а) \(f'(2)=128\)
б) \(f'(9)=\dfrac{2}{3}\)
в) \(f'(1)=10\)
г) \(f'(-1)=-16\)
Как это делается
Используем правило степени: \[ (x^n)'=nx^{n-1}, \] а также правила: \[ (Cf)'=Cf',\qquad (f\pm g)'=f'\pm g'. \]
а)
\[
f(x)=4x^4
\]
\[
f'(x)=4\cdot 4x^3=16x^3
\]
\[
f'(2)=16\cdot 2^3=16\cdot 8=128
\]
б)
\[
f(x)=4\sqrt x=4x^{1/2}
\]
\[
(\sqrt x)'=\frac1{2\sqrt x}
\]
\[
f'(x)=4\cdot \frac1{2\sqrt x}=\frac2{\sqrt x}
\]
\[
f'(9)=\frac2{\sqrt9}=\frac23
\]
в)
\[
f(x)=x^2+8x
\]
\[
f'(x)=2x+8
\]
\[
f'(1)=2\cdot 1+8=10
\]
г)
\[
f(x)=3x^3-5x^5
\]
\[
f'(x)=3\cdot 3x^2-5\cdot 5x^4=9x^2-25x^4
\]
При \(x=-1\):
\[
f'(-1)=9\cdot (-1)^2-25\cdot (-1)^4=9-25=-16
\]
Проверка: степень при дифференцировании понижается на \(1\), а коэффициент умножается на старую степень. Отрицательное значение в пункте г получается потому, что \(9-25=-16\).
