Реши задание на изображении
Кратко
- \(BC=\sqrt5\).
- \(\angle C=90^\circ\).
- \(AB:\ 3x+4y-13=0\).
- \(AH:\ 2x+y-7=0\), причём \(H=C\).
- Прямая из п. 2 параллельна плоскости \(x+z=6\).
1. Длина \(BC\)
\[ \overrightarrow{BC}=(1-(-1);\,5-4)=(2;1) \]
\[ BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5 \]
Ответ: \(BC=\sqrt5\).
2. Внутренний угол \(C\)
Считаем угол между векторами \(\overrightarrow{CA}\) и \(\overrightarrow{CB}\):
\[ \overrightarrow{CA}=A-C=(3-1;1-5)=(2;-4) \]
\[ \overrightarrow{CB}=B-C=(-1-1;4-5)=(-2;-1) \]
Скалярное произведение:
\[ \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB} =2\cdot(-2)+(-4)\cdot(-1)=-4+4=0 \]
Значит,
\[ \cos C=0 \]
\[ \angle C=90^\circ \]
Проверка:
\(AC=2\sqrt5,\ BC=\sqrt5,\ AB=5\), причём
\[ AC^2+BC^2=20+5=25=AB^2 \]
Треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине \(C\).
Ответ: \(\angle C=90^\circ\).
3. Уравнение стороны \(AB\)
Через точки \(A(3;1)\) и \(B(-1;4)\):
\[ \frac{x-3}{-4}=\frac{y-1}{3} \]
\[ 3(x-3)=-4(y-1) \]
\[ 3x-9=-4y+4 \]
\[ 3x+4y-13=0 \]
Ответ:
\[ \boxed{3x+4y-13=0} \]
Или:
\[ y=-\frac34x+\frac{13}{4} \]
4. Уравнение высоты \(AH\)
Высота \(AH\) перпендикулярна стороне \(BC\).
Сначала найдём уравнение \(BC\). Вектор \(BC=(2;1)\), поэтому угловой коэффициент:
\[ k_{BC}=\frac12 \]
Значит, угловой коэффициент высоты:
\[ k_{AH}=-2 \]
Высота проходит через \(A(3;1)\):
\[ y-1=-2(x-3) \]
\[ y=-2x+7 \]
Или в общем виде:
\[ 2x+y-7=0 \]
Ответ:
\[ \boxed{2x+y-7=0} \]
Так как \(\angle C=90^\circ\), высота из \(A\) на \(BC\) попадает в точку \(C\), то есть \(H=C\). Поэтому уравнение высоты совпадает с уравнением стороны \(AC\).
Чертёж
На координатной плоскости отметьте точки:
\[ B(-1;4),\qquad C(1;5),\qquad A(3;1) \]
Соедините их в треугольник \(ABC\). При вершине \(C\) стороны \(CA\) и \(CB\) перпендикулярны, поэтому угол \(C\) прямой.
2. Прямая и плоскость
Дана прямая:
\[ \frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-4}{-2} \]
и плоскость:
\[ x+z=6 \]
Направляющий вектор прямой:
\[ \vec s=(2;3;-2) \]
Нормальный вектор плоскости:
\[ \vec n=(1;0;1) \]
Проверяем их скалярное произведение:
\[ \vec s\cdot\vec n=2\cdot1+3\cdot0+(-2)\cdot1=2-2=0 \]
Значит, направляющий вектор прямой перпендикулярен нормальному вектору плоскости, то есть направление прямой параллельно плоскости.
Но нужно ещё проверить, что прямая не лежит в плоскости. Возьмём точку прямой при параметре \(0\):
\[ P(1;0;4) \]
Подставим в уравнение плоскости:
\[ x+z=1+4=5\ne6 \]
Точка \(P\) не принадлежит плоскости, поэтому прямая не лежит в ней.
Следовательно, прямая параллельна плоскости \(x+z=6\).
Что важно понять:
Для прямой и плоскости сравнивают направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости: если их скалярное произведение равно нулю, направления параллельны. Затем отдельно проверяют, что хотя бы одна точка прямой не лежит в плоскости.
