Реши задание на изображении
На фото нет отдельного примера для вычисления — это конспект по теме «Производная». Судя по заголовку, нужно заполнить таблицу производных для перечисленных функций. Вот она:
| \(f(x)\) | \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(C\) — постоянная | \(0\) |
| \(x\) | \(1\) |
| \(kx+b\) | \(k\) |
| \(x^n\) | \(n x^{n-1}\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}},\ x>0\) |
| \(\dfrac1x\) | \(-\dfrac{1}{x^2},\ x\ne0\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\operatorname{tg}x\) | \(\dfrac{1}{\cos^2 x},\ x\ne\dfrac{\pi}{2}+\pi k\) |
| \(\operatorname{ctg}x\) | \(-\dfrac{1}{\sin^2 x},\ x\ne\pi k\) |
| \(a^x\) | \(a^x\ln a,\ a>0,\ a\ne1\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(\log_a x\) | \(\dfrac{1}{x\ln a},\ x>0\) |
| \(\ln x\) | \(\dfrac1x,\ x>0\) |
Основные правила дифференцирования:
\[ (cu)'=cu', \qquad (u\pm v)'=u'\pm v', \]
\[ (uv)'=u'v+uv', \qquad \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}. \]
Для сложной функции:
\[ \bigl(f(g(x))\bigr)'=f'(g(x))\cdot g'(x). \]
Как рассуждать. Производная показывает скорость изменения функции. Сначала функцию разбивают на простые части, затем применяют таблицу. Например, степень \(x^n\) даёт множитель \(n\) и степень уменьшается на \(1\): \((x^3)'=3x^2\). Корень и \(\frac1x\) — это тоже степени: \(x^{1/2}\) и \(x^{-1}\), поэтому их производные получаются по той же формуле.
Проверка на примере:
\[ f(x)=3x^2-5\ln x+2\sin x. \]
\[ f'(x)=6x-\frac5x+2\cos x,\qquad x>0. \]
Проверяем по слагаемым: \((3x^2)'=6x\), \((-5\ln x)'=-\frac5x\), \((2\sin x)'=2\cos x\).
Если в кадре ниже был конкретный пример, которого не видно, пришли его полностью — решу по шагам.
