Подробное решение

№ 1. Упростить отношения

Правило: сначала приводим обе величины к одной единице измерения, потом делим оба члена на их общий делитель (как сокращаем дробь).

а) \(3\text{ см}:1\text{ м}\)

\(1\text{ м}=100\text{ см}\), значит \(3\text{ см}:100\text{ см}\). Числа взаимно простые:

\[ \boxed{3:100} \]

б) \(4\text{ л}:320\text{ мл}\)

\(4\text{ л}=4000\text{ мл}\). Делим на \(160\):

\[ 4000:320=(4000:160):(320:160)=\boxed{25:2} \]

в) \(6\text{ га}:150\text{ а}\)

\(1\text{ га}=100\text{ а}\), поэтому \(6\text{ га}=600\text{ а}\):

\[ 600:150=4:1 \quad\Rightarrow\quad \boxed{4:1} \]

№ 2. Отношения из трёх членов

Здесь делим все три члена на их общий делитель. Если общего делителя, кроме \(1\), нет — отношение уже несократимо.

а) \(\boxed{1:2:4}\) — НОД\((1;2;4)=1\), дальше не сокращается.

б) \(\boxed{7:4:10}\) — НОД\((7;4;10)=1\).

в) \(\boxed{7:3:1}\) — НОД\((7;3;1)=1\).

№ 3. Три величины — к одной единице

а) \(3\text{ м}:80\text{ см}:0{,}5\text{ м}\)

Переводим всё в сантиметры:

\[ 300:80:50 \]

Делим все члены на \(10\):

\[ \boxed{30:8:5} \]

Проверка: \(30:8:5\) — НОД \(=1\), значит упрощено верно.

б) Делим все три члена на их общий делитель, получаем

\[ \boxed{3:2:6} \]

Проверка: НОД\((3;2;6)=1\) — дальше сокращать нечем.

в) \(\dfrac{2}{5}\text{ кг}:3\text{ кг}:1\text{ т}\)

\(1\text{ т}=1000\text{ кг}\):

\[ 0{,}4:3:1000 \]

Умножаем все члены на \(5\), чтобы убрать дробь:

\[ 2:15:5000 \]

\[ \boxed{2:15:5000} \]

№ 4. Задача про поезд

\[ 180\text{ км}:2\text{ ч}=90\text{ км}:1\text{ ч}=90\text{ км/ч} \]

Отношение показывает, что за каждый час поезд проходит \(90\) км. По смыслу ученица права: \(180:2\) и \(90:1\) — одно и то же отношение. Но в ответ надо записывать упрощённое отношение: \(90:1\) (или \(90\) км/ч).

№ 5

а) \(30\text{ кг}:2\text{ т}\)

\(2\text{ т}=2000\text{ кг}\):

\[ 30:2000=3:200 \quad\Rightarrow\quad \boxed{3:200} \]

б) \(700\text{ м}:20\text{ км}\)

\(20\text{ км}=20000\text{ м}\):

\[ 700:20000=7:200 \quad\Rightarrow\quad \boxed{7:200} \]

в) По рисунку: яблок \(6\), апельсинов \(4\), груш \(8\).

\[ 6:4:8 \;\xrightarrow{\;:2\;}\; \boxed{3:2:4} \]

г) По рисунку: чашек \(4\), стаканов \(6\), бутылок \(2\).

\[ 4:6:2 \;\xrightarrow{\;:2\;}\; \boxed{2:3:1} \]

№ 6. Прав ли Калыс?

Из отношения «учителя : ученики \(=1:30\)» следует, что учеников в \(30\) раз больше, чем учителей. Пусть учителей \(x\), тогда учеников \(30x\).

Отношение мальчиков к девочкам:

\[ 16:14 \;\Rightarrow\; 16t \text{ мальчиков и } 14t \text{ девочек} \]

Но \(16t+14t=30t\) — это все ученики, значит \(t=x\). То есть:

• учителей — \(x\);
• мальчиков — \(16x\);
• девочек — \(14x\).

При \(x=1\): \(1\) учитель, \(16\) мальчиков, \(14\) девочек — такой вариант возможен. Но при \(x=2\): \(2\) учителя, \(32\) мальчика, \(28\) девочек — тоже подходит под все условия.

Ответ: Калыс не прав: отношение задаёт только пропорцию, а не точные количества. Он назвал лишь один из возможных вариантов.

---

Если в тетради в № 1–2 записаны другие исходные числа, пришли фото этих пунктов — сверю и пересчитаю.