Реши задание на изображении

Судя по фото, в центре — вариант 6, задание на производные. Вот ответы:

1. \(y=10x+x^{16}\)
   \[ y'=10+16x^{15} \]

2. \(y=9x^2+3x^4-14\)
   \[ y'=18x+12x^3 \]

3. \(y=-8x+\sqrt{x}\)
   \[ y'=-8+\frac{1}{2\sqrt{x}} \]

4. \(y=\frac1x+15x^7-5\)
   \[ y'=-\frac{1}{x^2}+105x^6 \]

5. \(y=-\frac{3}{x^2}-\operatorname{tg}x\)
   \[ y'=\frac{6}{x^3}-\frac{1}{\cos^2 x} \]

6. \(y=5\sqrt{x}-\cos x\)
   \[ y'=\frac{5}{2\sqrt{x}}+\sin x \]

7. \(y=-\frac{2}{x^3}-4\sin x\)
   \[ y'=\frac{6}{x^4}-4\cos x \]

8. \(y=(x^3-1)(2+x^2)\)
   \[ y'=5x^4+6x^2-2x \]

9. \(y=\sqrt{x}(2x+8)\)
   \[ y'=\frac{3x+4}{\sqrt{x}} \]

10. \(y=x^2\operatorname{tg}x\)
    \[ y'=2x\operatorname{tg}x+\frac{x^2}{\cos^2 x} \]

Как это работает

Главные формулы:

\[ (x^n)'=nx^{n-1},\qquad (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad \left(\frac1x\right)'=-\frac{1}{x^2} \]

\[ (\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x,\qquad (\operatorname{tg}x)'=\frac{1}{\cos^2 x} \]

Производная суммы — сумма производных, а постоянная даёт \(0\).

Например, в №5:

\[ -\frac{3}{x^2}=-3x^{-2} \]

поэтому

\[ (-3x^{-2})'=-3\cdot(-2)x^{-3}=\frac{6}{x^3} \]

А \(-\operatorname{tg}x\) даёт \(-\frac{1}{\cos^2 x}\).

В №8 и №9 применяется правило произведения:

\[ (uv)'=u'v+uv' \]

Проверка №8: раскроем скобки:

\[ (x^3-1)(2+x^2)=x^5+2x^3-x^2-2 \]

тогда

\[ y'=5x^4+6x^2-2x \]

— совпадает.