Реши задание на изображении

Похоже, нужно найти производные \(y'\). Вот ответы:

1. \[ y'=10+16x^{15} \]
2. \[ y'=18x+12x^3 \]
3. \[ y'=-8+\frac{1}{2\sqrt{x}} \]
4. \[ y'=45x^2-\frac{1}{x^2} \]
5. \[ y'=-\frac{9}{x^4}-\frac{1}{\cos^2 x} \]
6. \[ y'=\frac{5}{2\sqrt{x}}+\sin x \]

Как это получать

Производная суммы равна сумме производных, а постоянный множитель можно выносить. Нужны формулы:

\[ (C)'=0,\qquad (x^n)'=nx^{n-1} \]

\[ (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad \left(\frac1x\right)'=-\frac{1}{x^2} \]

\[ (\operatorname{tg}x)'=\frac{1}{\cos^2 x},\qquad (\cos x)'=-\sin x \]

Корни и дроби удобно записывать степенями:

\[ \sqrt{x}=x^{1/2},\qquad \frac1x=x^{-1},\qquad \frac{3}{x^3}=3x^{-3} \]

Например, в № 4:

\[ \left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2},\qquad (15x^3)'=15\cdot 3x^2=45x^2 \]

а число \(-5\) исчезает, потому что производная константы равна нулю.

В № 6:

\[ (5\sqrt{x})'=5\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad (-\cos x)'=\sin x \]

Проверка: в степенных слагаемых показатель уменьшился на 1, у констант производная \(0\), а знак у \(-\cos x\) изменился на противоположный.

Области определения производных: в № 3 и 6 нужно \(x>0\); в № 4 \(x\ne0\); в № 5 ещё и \(\cos x\ne0\).