Реши задание на изображении

По виду задания нужно найти производные функций. В №11 под курсором читаю \(+\,5\).

Ответы:

7. \[ y'=10x^{-6}-4\cos x=\frac{10}{x^6}-4\cos x \]

8. \[ y'=5x^4+36x^2-2x \]

9. \[ y'=3\sqrt{x}+\frac{4}{\sqrt{x}}=\frac{3x+4}{\sqrt{x}} \]

10. \[ y'=11x^{10}\operatorname{tg}x+\frac{x^{11}}{\cos^2 x} \]

11. \[ y'=15-\frac{24}{x^2} \]

12. \[ y'=\frac{4x^2(2x-9)}{3(x-3)^2} \]

Как это получается:

Используются основные правила:

\[ (x^n)'=nx^{n-1},\qquad (\sin x)'=\cos x, \] \[ (\operatorname{tg}x)'=\frac{1}{\cos^2 x}, \] \[ (uv)'=u'v+uv',\qquad \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}. \]

Например:

• №7: сначала переписываем \(\displaystyle -\frac{2}{x^5}=-2x^{-5}\). Тогда производная \(-2x^{-5}\) равна \(10x^{-6}\).
• №8: можно раскрыть скобки: \[ y=x^5+12x^3-x^2-12, \] поэтому \(y'=5x^4+36x^2-2x\).
• №9: \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), поэтому \[ y=2x^{3/2}+8x^{1/2}, \] откуда \(y'=3\sqrt{x}+\frac{4}{\sqrt{x}}\).
• №10: это произведение \(x^{11}\) и \(\operatorname{tg}x\), поэтому применяем правило произведения.
• №11: раскрываем скобки: \[ \left(\frac3x+5\right)(3x+8)=15x+49+\frac{24}{x}, \] значит \(y'=15-\frac{24}{x^2}\).
• №12: применяем правило частного: \[ y'=\frac{12x^2(3x-9)-4x^3\cdot 3}{(3x-9)^2} =\frac{4x^2(2x-9)}{3(x-3)^2}. \]

Проверка: в №8 и №11 раскрытие скобок даёт те же результаты; в №9 по правилу произведения тоже получается \(\frac{3x+4}{\sqrt{x}}\).