Реши задание на изображении
Судя по виду примеров, нужно найти область определения функции — все \(x\), при которых выражение имеет смысл.
Краткий ответ
11)
\[
y=\left(\frac1x+5\right)(3x+8),\qquad x\ne0
\]
\[
D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)
\]
12)
\[
y=\frac{4x^3}{3x-9},\qquad 3x-9\ne0
\]
\[
D(y)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty)
\]
13)
\[
y=\frac{5\sqrt{x}}{x^2-1}
\]
\[
x\ge0,\quad x^2-1\ne0
\]
\[
D(y)=[0;1)\cup(1;+\infty)
\]
14)
\[
y=\frac{\operatorname{ctg}x}{6x^2}
\]
\[
\sin x\ne0,\quad x\ne0
\]
\[
D(y)=\mathbb R\setminus\{\pi k\mid k\in\mathbb Z\}
\]
Как рассуждать
- Знаменатель не может быть равен нулю.
- Под корнем чётной степени выражение должно быть неотрицательным: \(x\ge0\).
- Для \(\operatorname{ctg}x\) нужно \(\sin x\ne0\), то есть \(x\ne\pi k\).
Проверка спорного места в №13
Там одновременно есть корень и знаменатель: \[ \sqrt{x}\Rightarrow x\ge0, \] \[ x^2-1\ne0\Rightarrow x\ne1,\ x\ne-1. \] Но \(x=-1\) и так не подходит, потому что \(x\ge0\). Остаётся: \[ x\in[0;1)\cup(1;+\infty). \] При \(x=0\) числитель равен нулю, знаменатель \(-1\), поэтому функция определена.
