Реши задание на изображении
На изображении только формулы, без условия. Для такого набора примеров обычно требуется найти область определения функции. Решаю эту задачу.
Кратко: \[ 12)\ D(y)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty) \] \[ 13)\ D(y)=[0;1)\cup(1;+\infty) \] \[ 14)\ D(y)=\mathbb R\setminus\{\pi k\mid k\in\mathbb Z\} \]
Почему так:
- Дробь существует, если знаменатель не равен нулю.
- Корень \(\sqrt{x}\) существует при \(x\ge 0\).
- Котангенс \(\operatorname{ctg}x\) определён, если \(\sin x\ne 0\), то есть \(x\ne \pi k\).
12)
\[
y=\frac{4x^3}{3x-9}
\]
Знаменатель не равен нулю:
\[
3x-9\ne0 \Rightarrow x\ne3.
\]
Поэтому:
\[
D(y)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty).
\]
13)
\[
y=\frac{5\sqrt{x}}{x^7-1}
\]
Нужны два условия:
\[
x\ge0
\]
и
\[
x^7-1\ne0 \Rightarrow x^7\ne1 \Rightarrow x\ne1.
\]
При этом \(x=0\) подходит, потому что \(\sqrt0=0\), а знаменатель при \(x=0\) не равен нулю. Значит:
\[
D(y)=[0;1)\cup(1;+\infty).
\]
14)
\[
y=\frac{\operatorname{ctg}x}{6x^2}
\]
Котангенс не определён при
\[
x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.
\]
Кроме того, \(6x^2\ne0\), то есть \(x\ne0\), но \(x=0\) уже входит в исключённые точки \(\pi k\). Поэтому:
\[
D(y)=\mathbb R\setminus\{\pi k\mid k\in\mathbb Z\}.
\]
Проверка: в точках \(x=3\), \(x=1\) и \(x=\pi k\) соответствующая функция не имеет значения — знаменатель равен нулю или не определён котангенс.
