Реши задание на изображении

Кратко

1. \(AC=12\sqrt2\approx16{,}97\).
2. \(\angle A=\arccos\dfrac{2}{\sqrt5}=\arctan\dfrac12\approx26{,}57^\circ\approx26^\circ34'\).
3. \(BC:\ x+y-9=0\), или \(y=-x+9\).
4. \(BH:\ x+y-9=0\); при этом \(H=C(3;6)\), так как \(AC\perp BC\).
5. Искомая прямая: \[ \frac{x-2}{6}=\frac{y+3}{-3}=\frac{z+5}{5}. \]

Как это получить

1) Длина \(AC\)

\[ \overrightarrow{AC}=(3-(-9);\,6-(-6))=(12;12) \] \[ AC=\sqrt{12^2+12^2}=\sqrt{288}=12\sqrt2\approx16{,}97. \]

2) Угол \(A\)

\[ \overrightarrow{AB}=(-3+9;\,12+6)=(6;18), \qquad \overrightarrow{AC}=(12;12). \]

Угол между векторами: \[ \cos A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|AB|\cdot|AC|}. \]

\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =6\cdot12+18\cdot12=288, \] \[ |AB|=\sqrt{6^2+18^2}=6\sqrt{10}, \qquad |AC|=12\sqrt2. \]

Тогда \[ \cos A=\frac{288}{6\sqrt{10}\cdot12\sqrt2} =\frac{2}{\sqrt5}. \]

Значит, \[ \angle A=\arccos\frac{2}{\sqrt5}\approx26{,}565^\circ. \]

Можно также заметить, что \[ \tan A=\frac12. \]

3) Уравнение стороны \(BC\)

\[ B(-3;12),\quad C(3;6). \]

Угловой коэффициент: \[ k_{BC}=\frac{6-12}{3-(-3)}=\frac{-6}{6}=-1. \]

Уравнение: \[ y-12=-1(x+3), \] \[ y=-x+9. \]

В общем виде: \[ x+y-9=0. \]

4) Уравнение высоты \(BH\)

Высота из \(B\) перпендикулярна \(AC\). У стороны \(AC\) угловой коэффициент \(1\), значит у перпендикуляра он равен \(-1\): \[ y-12=-1(x+3), \] то есть \[ x+y-9=0. \]

Получилось то же уравнение, что и у \(BC\). Это не ошибка: \(AC\perp BC\), то есть треугольник прямоугольный с прямым углом при \(C\). Поэтому высота из \(B\) на \(AC\) идёт по стороне \(BC\), и \(H=C(3;6)\).

Проверка: \[ AC^2+BC^2=(12\sqrt2)^2+(6\sqrt2)^2=288+72=360=AB^2, \] значит, угол \(C\) действительно прямой.

5) Прямая через \(M_0\), перпендикулярная плоскости

Плоскость: \[ 6x-3y+5z+2=0. \]

Её нормальный вектор: \[ \vec n=(6;-3;5). \]

Прямая, перпендикулярная плоскости, имеет направление \(\vec n\). Через точку \(M_0(2;-3;-5)\):

\[ \frac{x-2}{6}=\frac{y-(-3)}{-3}=\frac{z-(-5)}{5}. \]

То есть: \[ \boxed{\frac{x-2}{6}=\frac{y+3}{-3}=\frac{z+5}{5}}. \]

Параметрически: \[ \begin{cases} x=2+6t,\\ y=-3-3t,\\ z=-5+5t. \end{cases} \]

Можно записать и как пересечение двух плоскостей: \[ \begin{cases} x+2y+4=0,\\ 5x-6z-40=0. \end{cases} \]

Чертёж: нанеси \(A(-9;-6)\), \(B(-3;12)\), \(C(3;6)\) и соедини их. Сторона \(AC\) идёт с наклоном \(1\), сторона \(BC\) — с наклоном \(-1\), поэтому при \(C\) прямой угол. Высота \(BH\) совпадает с \(BC\).