Реши задание на изображении
На доске два столбца. Краткие ответы:
| Левая колонка | Ответ | Правая колонка | Ответ |
|---|---|---|---|
| 1) \(\log_{15}5+\log_{15}3\) | \(1\) | 1) \(\log_6 4+\log_6 9\) | \(2\) |
| 2) \(\log_2 8^2\) | \(6\) | 2) \(\log_3 9^3\) | \(6\) |
| 3) \(\log_{13}\sqrt[3]{169}\) | \(\frac23\) | 3) \(\log_{11}\sqrt[3]{\ ?}\) | условие обрезано |
| 4) \(\ln(1-5x)=0\) | \(x=0\) | 4) \(\lg(2x+5)=1\) | \(x=\frac52\) |
| 5) \(\log_{1/3}x=x-4\) графически | \(x=3\) |
Как это получается
1. Сумма логарифмов с одинаковым основанием: \[ \log_a b+\log_a c=\log_a(bc). \] Поэтому \[ \log_{15}5+\log_{15}3=\log_{15}15=1, \] \[ \log_6 4+\log_6 9=\log_6 36=2. \]
2. Степени: \[ 8=2^3,\quad 8^2=2^6, \] поэтому \[ \log_2 8^2=\log_2 2^6=6. \]
Аналогично: \[ 9=3^2,\quad 9^3=3^6, \] значит \[ \log_3 9^3=6. \]
3. Корень: \[ 169=13^2, \] поэтому \[ \sqrt[3]{169}=13^{2/3}. \] Следовательно, \[ \log_{13}\sqrt[3]{169}=\frac23. \]
4. Логарифмические уравнения.
Логарифм равен нулю, когда его аргумент равен \(1\):
\[
\ln(1-5x)=0 \Rightarrow 1-5x=1 \Rightarrow x=0.
\]
Проверка: \(\ln 1=0\).
Для десятичного логарифма: \[ \lg(2x+5)=1 \Rightarrow 2x+5=10 \Rightarrow 2x=5 \Rightarrow x=\frac52. \] Проверка: \(\lg 10=1\).
5. Графически: \[ \log_{1/3}3=-1, \] так как \(3=(1/3)^{-1}\), а \[ 3-4=-1. \] Значит графики пересекаются при \(x=3\). Других корней нет: логарифм с основанием меньше \(1\) убывает, а прямая \(x-4\) возрастает.
Правый №3: что стоит под кубическим корнем? На фото число обрезано. Общая формула: \[ \log_{11}\sqrt[3]{N}=\frac13\log_{11}N. \]
