Реши и распиши задания

В знаменателе читаю \(|x-2|\).

Кратко:

1. \(x=\dfrac{46}{3}\);
2. \(x=\dfrac{1923}{997}\), \(x=\dfrac{2077}{1003}\).

№ 1

\[ \frac{|3x-77|+9}{|x-2|}=3,\qquad x\ne2. \]

Умножаем на положительный знаменатель: \[ |3x-77|+9=3|x-2|. \]

Нули модулей: \(x=2\) и \(x=\frac{77}{3}\). Разбираем промежутки.

• Если \(x<2\), то \[ 77-3x+9=3(2-x), \] \[ 86-3x=6-3x \Rightarrow 86=6 \] — решений нет.

• Если \(2<x<\frac{77}{3}\), то \[ 77-3x+9=3(x-2), \] \[ 86-3x=3x-6, \] \[ 92=6x, \] \[ x=\frac{46}{3}. \] Это число подходит: \(2<15\frac13<25\frac23\).

• Если \(x>\frac{77}{3}\), то \[ 3x-77+9=3(x-2), \] \[ 3x-68=3x-6 \Rightarrow -68=-6 \] — решений нет.

Точка \(x=2\) не входит в ОДЗ, \(x=\frac{77}{3}\) не подходит.
Проверка: \[ \frac{|3\cdot\frac{46}{3}-77|+9}{|\frac{46}{3}-2|} =\frac{31+9}{40/3} =\frac{40}{40/3}=3. \]

Ответ 1: \(\boxed{\frac{46}{3}}\).

№ 2

\[ \frac{|3x-77|}{|x-2|}=1000,\qquad x\ne2. \]

Умножаем: \[ |3x-77|=1000|x-2|. \]

Раскрываем через два знака: \[ 3x-77=1000(x-2) \] или \[ 3x-77=-1000(x-2). \]

Первый случай: \[ 3x-77=1000x-2000, \] \[ 1923=997x, \] \[ x=\frac{1923}{997}. \]

Второй случай: \[ 3x-77=-1000x+2000, \] \[ 1003x=2077, \] \[ x=\frac{2077}{1003}. \]

Оба числа не равны \(2\), поэтому подходят.

Ответ 2: \(\boxed{\frac{1923}{997};\ \frac{2077}{1003}}\).